jueves, 4 de febrero de 2016

El resto de soluciones

Si x = 3 es una solución de la ecuación 4 x4 – 37 x2 + a = 0, ¿cuáles son sus otras soluciones? 



Solución:


Al ser x = 3 solución de la ecuación, ha de cumplirse que:

4 ·34 – 37 ·32 + a = 0

Es decir, que 324 – 333 + a = 0, de donde despejamos el valor de a:

a = 342 – 333 = 9

De esta forma, la ecuación cuyas soluciones queremos conocer es 4 x4 – 37 x2 + 9 = 0.

Al tratarse de una bicuadrada hacemos el cambio de variable t = x2, con el que la transformamos en la siguiente:

4 t2 – 37 t + 9 = 0

La resolvemos:


Las soluciones de esta ecuación son t1 = 9 y t2 = 1/4.

Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos que, al calcular las raíces cuadradas de t1 y t2:
x1 =3, x2 = - 3, x3 = 1/2, x4 = - 1/2

Así, las otras soluciones de la ecuación son -3,  1/2  y – 1/2.

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