Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Las razones trigonométricas de un ángulo no dependen de las longitudes de los lados del triángulo, sino solamente de la amplitud del ángulo.

En efecto, consideramos los dos triángulos semejantes siguientes:

Por ser semejantes, el ángulo A es el mismo en ambos triángulos.

Si nos fijamos en las figuras anteriores, y calculamos el seno y el coseno del ángulo A utilizando los dos triángulos, tenemos que:

Pero, por la semejanza de los triángulos, se cumple que:

Por tanto, el seno y el coseno de A no dependen de la longitud de los lados del triángulo.

Y se ve fácilmente que, si la hipotenusa del triángulo mide la unidad de longitud, el seno de A coincide con su cateto opuesto y el coseno de A coincide con su cateto contiguo.

Circunferencia goniométrica

Es aquella cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y cuyo radio es la unidad de longitud.

Se divide en cuatro cuadrantes determinados por los ejes coordenados, que se numeran en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Si consideramos un ángulo α del primer cuadrante, tenemos lo siguiente:

Teniendo en cuenta que los triángulos OPR, OQS y OTU son semejantes:

Si consideramos un ángulo β del segundo cuadrante, tenemos lo siguiente:

sen β = PQ

cos β = OP

Además, si consideramos el ángulo α = 180^o – β, este último estará en el primer cuadrante:

Es fácil observar que sen β = PQ = sen α y que cos β = OP = - cos α.

Si consideramos un ángulo σ del tercer cuadrante, tenemos:

Observamos que sen σ = PQ y cos σ = OP.

Además, el ángulo α = σ – 180^o está en el primer cuadrante.

Y se observa que sen σ = - sen α  y  cos σ = - cos α.

Si consideramos un ángulo φ del cuarto cuadrante, tenemos:

Observamos que sen φ = PQ y cos φ = OP.

Además, el ángulo α = 360^o - φ está en el primer cuadrante.

Y se observa que sen φ = - sen α  y  cos φ =  cos α.

De todas las consideraciones anteriores podemos deducir que, para cualquier ángulo α se verifica lo siguiente:

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

sen α es positivo si α está en el primero o en el segundo cuadrante

sen α es negativo si α está en el tercero o en el cuarto cuadrante

cos α es positivo si α está en el primero o en el cuarto cuadrante

cos α es negativo si α está en el segundo o en el tercer cuadrante

Además, se observa que:

sen 0^o = 0, cos 0^o = 1

 sen 90^o = 1, cos 90^o = 0

 sen 180^o = 0, cos 0^o = -1

 sen 270^o = -1, cos 0^o = 0