Problema 10.

Consideramos los vectores siguientes:

Calcula el valor de a para que dichos vectores:

a) formen un ángulo de 90º.

b) formen un ángulo de 30º.

Solución:

a) Utilizamos la expresión del producto escalar de dos vectores:

siendo 𝛼 el ángulo que forman los vectores.

A partir de esta expresión, se deduce que para que los vectores dados formen un ángulo de 90º debe cumplirse que:

Es decir, que:

De esta forma:

(- 3, 4) · (a, 2) = 0

- 3a + 8 = 0

a = 8 / 3

b) Para que los vectores formen un ángulo de 30º debe cumplirse:

De esta expresión, deducimos que:

Sustituyendo los vectores por sus coordenadas y los módulos de los vectores por sus valores, se obtiene lo siguiente:

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenida:

36 a² + 256 – 192 a = 25 · (3 a² + 12)

36 a² + 256 – 192 a = 75 a² + 300

39 a² + 192 a + 44 = 0

Resolvemos esta ecuación de segundo grado:

Así pues, a puede tomar los valores: