sábado, 28 de mayo de 2016

Problema 10.3.


Con seis dígitos comprendidos entre el 1 y el 9 se ha formado un número de seis cifras “abcdef”  que cumple las condiciones siguientes:

- Todas sus cifras son distintas.

- La suma de sus tres primeras cifras es 12.

- La suma de sus tres últimas cifras es 15.

- El número “ab” es múltiplo de 2, el “bc” es múltiplo de 3, el “cd” es múltiplo de 4, el “de” es múltiplo de 5 y el “ef” es múltiplo de 6.


¿De qué número se trata?

Solución:

Por ser múltiplo de 5, de debe terminar en 0 o en 5; pero como las cifras están entre 1 y 9, se tiene que e = 5.

Entonces, 5f es múltiplo de 6 y, como el único múltiplo de 6 de dos cifras que empieza por 5 es 54, se deduce que f = 4.

Como la suma de las tres últimas cifras ha de ser igual a 15, resulta que d = 6.

Ya sabemos que el número es abc654.

Teniendo en cuenta que c6 es múltiplo de 4, se distinguen dos posibilidades: c = 1 o c = 3.

- Si c = 1, como b1 es divisible por 3, necesariamente ha de cumplirse que b = 2. Y como la suma de las tres primeras cifras es 12, se deduce que a = 9. En este caso, ya tendríamos el número completo, que es el 921654.

- Si c = 3, como b3 es múltiplo de 3, resulta que b3 = 33 o b3 = 63 o b3 = 93. Los dos primeros casos no son posibles ya que no pueden repetirse cifras y, por tanto, debería ser b = 9. Pero como la suma de las tres primeras cifras ha de ser igual a 12, debería cumplirse que a = 0, lo cual tampoco es posible.


Por tanto, el único número que cumple todas las condiciones dadas es el 921654.

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