Problema 10.5.

Para montar una coreografía, hay que organizar en pequeños equipos a los bailarines de una compañía.

 El número de bailarines está comprendido entre 100 y 120. Si se les agrupa de 5 en 5, sobran dos; si se les agrupa de 2 en 2, sobra uno; pero si se les agrupa de 3 en 3 no sobra ninguno.

¿Cuántos bailarines forman dicha compañía?

Solución:

El número de bailarines, ya que está comprendido entre 100 y 120, ha de tener tres cifras y la primera es el 1.

Un múltiplo de 5 acaba en 5 o 0, y como si se agrupan de cinco en cinco sobran dos, se deduce que el número ha de terminar en 7 o 2.

Pero, si terminase en 2, sería par y al agrupar los participantes de 2 en 2 no sobraría ninguno. Por tanto, el número debe terminar en 7.

Ya tenemos que ha de ser de la forma  1a7.

Como debe ser múltiplo de 3, sus cifras han de sumar un múltiplo de 3. Para que eso ocurra, a debe valer 1 (pues 1 + 1 + 7 = 9), 4 (ya que 1 + 4 + 7 = 12) o 7 (pues 1  + 7 + 7 = 15).

Pero sólo en el primero de estos casos el número está comprendido entre 100 y 120. Luego a = 1.

Así, son 117 los bailarines que forman dicha compañía.