Vamos a tratar de determinar
las condiciones algebraicas que deben cumplir los puntos para pertenecer a
una recta, es decir, vamos a determinar las ecuaciones de la recta.
Sea P (a, b) un punto de la
recta r, y v = (v1, v2) un vector, no nulo, que tiene la
misma dirección que r, y sea X (x, y) un punto cualquiera de la recta.
Como vemos los puntos P y X de la recta determinan
con el origen dos vectores (el de origen O y extremo P, y el de origen O y
extremo X, respectivamente), que son sus vectores de posición.
Se
llama ecuación vectorial de la recta
r, a la expresión
(x,
y) = (a, b) + l·(v1
, v2 ) con lÎR
Operando en la ecuación
anterior obtenemos:
(x, y) = (a + l·v1, b + l·v2)
Si igualamos las coordenadas
obtenemos las conocidas como ecuaciones
paramétricas de r:
Despejamos el parámetro l en cada una de las
ecuaciones paramétricas de r:
Igualando ambas expresiones
obtenemos la ecuación continua de la
recta:
Si multiplicamos los dos
miembros de la ecuación continua por (v1 · v2) obtenemos:
v2 · (x - a) = v1
· (y - b)
Restamos a los dos
miembros v1·(y - b):
v2 · (x - a) - v1
· (y - b) = 0
Efectuamos los productos:
v2 ·x - v2
· a - v1 ·y + v1 · b = 0
Si llamamos A = v2, B = -v1
y C = v1 · b - v2
· a, obtenemos la ecuación general o
implícita de la recta
A·x
+ B·y + C = 0
Si en la ecuación continua hubiésemos
multiplicado los dos miembros por v2,
la expresión obtenida sería:
Al cociente v2/v1 se le llama pendiente de la recta y, normalmente,
se representa por m. Así, la
expresión anterior queda de la forma:
y
- b = m · (x - a)
Esta
es la ecuación punto-pendiente de la
recta.
· El vector (- B,
A) y su opuesto son vectores directores de la recta.
· El vector (A,
B) que es perpendicular a la recta, se llama vector normal de ella.
· La pendiente de
una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con el sentido
positivo del eje de abscisas, y por tanto, nos proporciona la inclinación de
dicha recta.
Ejemplo:
Dado el punto P (1, 0)
y v =(3, -1), hallamos las ecuaciones de
la recta que pasa por el punto P y tiene como vector director al vector v.
Ecuación
vectorial:
(x, y)= (1, 0) + l ·(3, -1)
Ecuaciones
paramétricas:
Ecuación
continua:
Ecuación
general:
-1·(x-1)=3·y Þ -x-3·y + 1= 0 Þ x + 3·y -1 = 0
Si
en la ecuación continua quitamos denominadores:
- (x - 1) = 3y
Y despejando la variable y,
obtenemos la ecuación punto - pendiente:
Otras
ecuaciones de la recta.
En el apartado anterior obteníamos las
ecuaciones de la recta en forma vectorial, paramétricas, continua, general o
implícita y punto - pendiente.
Veamos otras formas de
expresar la ecuación de una recta, que nos darán una información complementaria
a la obtenida anteriormente.
Consideramos la ecuación
punto pendiente y - b = m · (x - a)
Sumamos a los dos miembros
b:
y - b + b = m · (x - a)+ b
y = m·x - m·a + b
Llamando n = b - m·a, se
obtiene la ecuación explícita de la
recta:
y = m·x + n
En esta ecuación, m es la
pendiente, y n recibe el nombre de
ordenada en el origen, pues cuando x = 0 es el valor que toma la ordenada (es
decir, el punto donde la recta corta al eje Y).
Veamos
ahora otra forma de la ecuación de una recta que podemos conseguir a partir de
la ecuación general de la recta:
A·x + B·y + C = 0
Restamos
C a los dos miembros:
A·x + B·y = -C
Si
ahora dividimos ambos miembros por - C:
Lo que es equivalente a:
Llamando
p = - C/A y q = - C/B se tiene la ecuación segmentaria de la recta:
Los números p y q nos indican
que la recta corta a los ejes coordenados en los puntos (p, 0) y (0, q), siendo
p y q la longitud de los segmentos que determina la recta con los ejes
coordenados.
Ejemplo:
Vamos a ver cómo podemos
obtener la ecuación explícita y la segmentaria de la recta, sabiendo que su
ecuación general es:
x + 3·y - 3 = 0
El vector de coordenadas (1,
3) es normal a la recta y por tanto el vector de coordenadas (3, - 1) tiene la
misma dirección que ella.
Por tanto, la pendiente es m = - 1/3.
Si damos a x el valor 0 en
la ecuación, despejamos el valor de y, obteniendo que y = 1. Por tanto, la
recta pasa por el punto (0, 1).
De esta forma, la ecuación
punto-pendiente es:
(y - 1) = -1/3 · x
Si sumamos 3 en los dos
miembros de la ecuación implícita, obtenemos:
x + 3·y – 3 + 3 = 0 + 3
x + 3·y = 3
Dividimos por 3 los dos
miembros de la ecuación anterior:
Y esta ecuación es
equivalente a la siguiente, que es la ecuación segmentaria:
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