Problema 11.1.

Calcula la superficie y el perímetro de la figura A, sabiendo que el lado del cuadrado en el que está inscrita mide 10 cm.

Solución:

Si dividimos el cuadrado en cuatro cuadrados iguales, tenemos la figura siguiente:

De esta forma, el cuadrado ha quedado dividido en ocho piezas.

Se observa que la figura de la que queremos calcular el perímetro y la superficie está formada por dos piezas del tipo a y otras dos del tipo b. Además, el cuadrado completo está formado por cuatro piezas del tipo a y otras cuatro del tipo b.

Se deduce, por tanto, que la superficie de la figura A es la mitad de la superficie del cuadrado, cuyo lado es l = 10 cm. Es decir:

Superficie de A = l ² / 2 =  10 ² / 2 = 100 / 2 = 50 cm ²

El arco de circunferencia que aparece en cada pieza del tipo a y en cada pieza del tipo b es un cuarto de una circunferencia de radio 5 cm (la mitad del lado del cuadrado). Así, el perímetro de la figura A, al estar formado por cuatro cuartos de dicha circunferencia, coincide con la longitud de la circunferencia completa. Es decir:

Perímetro de A = 2 · π · r = 2 · π · 5 = 10 π  cm

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B - Cuestión B3

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN B

CUESTIÓN B3. La siguiente gráfica corresponde a la función f (x) = - x² + x + a donde a es un número real.

Sabiendo que el área encerrada por el recinto acotado que limita la curva con el eje OX vale 9 / 2, utiliza esta información para hallar el valor del parámetro a.

Solución:

El área del recinto es:

Como el área es 9 / 2, tenemos que:

Resolvemos esta ecuación, para lo que multiplicamos por 2 sus dos miembros:

- 3 + 6 a = 9

6 a = 9 + 3

6 a = 12

a = 12 / 6

Por tanto, el valor del parámetro a es a = 2.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción A - Cuestión A3

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN A

CUESTIÓN A3. Se considera la función definida por:

a) Representa gráficamente la función.

b) Calcula el área del recinto acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX.

Solución:

a) Observamos que se trata de una función a trozos. Los trozos en los que se divide el dominio son los intervalos (- ∞, 0) y [0, + ∞).

En el primer intervalo tenemos en cuenta lo siguiente:

- La función corresponde a una recta.

- La función corta al eje OX en el punto x = - 3.

  Efectivamente, si x + 3 = 0 se deduce que x = - 3.

- El límite de la función cuando x tiende a cero es 3.

En el segundo intervalo tenemos en cuenta lo siguiente:

- La función corresponde a una parábola.

- El vértice de la parábola es el punto ((1, 4).

 Efectivamente, si x₀ = - b / 2 a = - 2 / (- 2) = 1, se tiene que y₀ = - 1² + 2·1 + 3 = 4.

- La función corta al eje OX en el punto (3, 0).

Efectivamente, si – x² + 2 x + 3 = 0, resolviendo la ecuación de segundo grado   se obtienen como soluciones x = - 1 y x = 3. Pero la primera de las soluciones  no está dentro del intervalo [0, + ∞), por lo que sólo es válida la x = 3.

- Se tiene que f (0) = 3.

Con estos datos, ya podemos hacer la representación gráfica:

b) El área del recinto que se pide es:

Problema 10.10.

Si para rellenar un balón esférico de tamaño especial  se han necesitado 36 π litros de aire, ¿qué superficie de cuero se ha necesitado para confeccionar el balón?

Solución:

Los litros de aire que se han utilizado coinciden con el volumen de la esfera que es el balón. Utilizando la fórmula del volumen de una esfera y la equivalencia entre litro y dm³, podemos calcular el radio del balón:

Despejamos:

La superficie de cuero necesaria, coincide con el área de una esfera de radio 3 dm, es decir:

Se han necesitado 36 π  dm ²  de cuero para confeccionar el balón.

Problema 10.9.

Si en un tetraedro regular se dobla la longitud de su arista, ¿qué ocurrirá con su área?

Solución:

Suponemos un tetraedro regular cuya arista es a. Sus cuatro caras son triángulos equiláteros de lado a y, por tanto, la superficie del tetraedro es cuatro veces la superficie de una de sus caras.

Si en una de las caras trazamos su altura obtenemos lo siguiente:

Aplicando el teorema de Pitágoras, se deduce que:

De esta forma, el área del triángulo equilátero de lado a es:

Y la superficie del tetraedro será cuatro veces la superficie anterior, es decir:

Si consideramos el tetraedro de arista doble, sus caras serán triángulos equiláteros de lado 2 a. Y repetimos el proceso anterior:

Aplicando el teorema de Pitágoras, se deduce que:

De esta forma, el área del triángulo equilátero de lado a es:

Y la superficie del tetraedro será cuatro veces la superficie anterior, es decir:

Observando las superficies de los dos tetraedros, se deduce que si la arista de un tetraedro regular dobla su longitud, la superficie del tetraedro se cuadruplica.

Área de un trapecio mixtilíneo.

Consideramos una corona circular y en ella un sector circular:

La figura ABCD es un trapecio isósceles mixtilíneo ya que sus bases son curvas y sus otros lados son segmentos (que miden lo mismo por obtenerse a partir de la corona circular, donde ambas circunferencias son concéntricas).

Si llamamos R y r a los radios de las circunferencias grande y pequeña, respectivamente, el área de la corona es:

Si la amplitud del sector circular es de n grados, resulta que el área del trapecio es:

Por otro lado, el arco de circunferencia BC mide:

Y el arco de circunferencia AD mide:

Si hacemos la semisuma (B _t + b _t ) / 2 obtenemos:

Y, si esta semisuma la multiplicamos por la longitud del segmento AB, que coincide con (R – r), obtenemos:

Y, según se ha visto anteriormente, este resultado coincide con el área del trapecio mixtilíneo:

Por tanto, al igual que en un trapecio rectilíneo, para calcular el área de un trapecio mixtilíneo se multiplica la semisuma de sus bases (arcos correspondientes de circunferencias concéntricas) por su altura (diferencia de los radios de dichas circunferencias):

Problemas y ejercicios resueltos de áreas y volúmenes I.

Área y volumen de un cilindro.

Área y volumen de un prisma hexagonal.

Área y volumen de una semiesfera.

Área y volumen de un cono.

Área y volumen de un cubo.

Subida de nivel.

Cantidad de agua.

Área y volumen de un cubo.

Halla el área y el volumen de un cubo en el que la diagonal de cada una de sus caras mide 50 cm.

Solución:

Para calcular el área y el volumen del cubo, necesitamos saber la longitud de su arista. Para conseguirlo, utilizamos el teorema de Pitágoras:

a ² + a ² = 50 ²

Así, la longitud de la arista es:

Ahora estamos en disposición de calcular el área y el volumen del cubo:

Área y volumen de un cono.

Halla el área y el volumen de un cono de 20 m de generatriz y cuya base mide 24 m de diámetro.

Solución:

Calculamos en primer lugar la altura del cono utilizando el teorema de Pitágoras:

Ahora podemos calcular el área  y  el volumen del cono: