Cantidad de agua.

En un cubo de 2 m de arista se introduce una esfera maciza que es tangente a todas las caras del cubo.

Después se añade la cantidad de agua necesaria para completar el cubo hasta el borde.

¿Cuántos litros de agua se han introducido?

Solución:

La cantidad de agua será la que corresponde al volumen del cubo menos el de la esfera. 

Calculamos el volumen del cubo, llamando x a su arista:

Al ser tangente a todas las caras del cubo, se deduce que el radio de la esfera mide 1 m. 

Calculamos su volumen:

Por tanto, la cantidad de agua introducida es:

Aproximando 𝜋 por 3,14, resulta que el volumen de agua es 3,813 m³.

Utilizando que un litro equivale a un dm³, deducimos que se han introducido aproximadamente  3813 litros de agua.

Subida de nivel.

Un vaso cilíndrico cuya base mide 6 cm de diámetro contiene agua. Se le añade un cubito de hielo (con forma de hexaedro) y entonces el nivel del agua sube 6 / π cm. 

Halla las dimensiones del cubito de hielo.

Solución:

Si llamamos h a la altura del agua antes de echar el cubito, el volumen que ocupa es el de un cilindro de altura h y cuya base mide 3 cm de radio. Es decir:

V = π · r ² · h = π · 3 ² · h = 9 π h   cm³

Cuando añadimos el cubito de hielo, la altura que alcanza el agua es h + 6 / π cm y, entonces, el volumen ocupado por el agua y el hielo es:

V´= π · 3 ² · (h + 6 / π) = 9 π h + 54   cm³

De esta forma, deducimos que el volumen ocupado por el cubito es:

V´- V = 9 π h + 54 - 9 π h = 54  cm³

Si llamamos x a la arista del cubito, tenemos que su volumen es  x³ = 54 cm³.

Por tanto, la arista del cubito de hielo mide:

Área y volumen de un cubo.

Halla el área y el volumen de un cubo en el que la diagonal de cada una de sus caras mide 50 cm.

Solución:

Para calcular el área y el volumen del cubo, necesitamos saber la longitud de su arista. Para conseguirlo, utilizamos el teorema de Pitágoras:

a ² + a ² = 50 ²

Así, la longitud de la arista es:

Ahora estamos en disposición de calcular el área y el volumen del cubo: