P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016

Opción A.

Opción B.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B

Cuestión B1.

Cuestión B2.

Cuestión B3.

Cuestión B4.

Cuestión B5.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B - Cuestión B5

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN B

CUESTIÓN B5. Según un estudio, el porcentaje de adultos de la Unión Europea que hablan una lengua extranjera es del 64%. En una muestra aleatoria tomada en España de 250 adultos se ha obtenido que 128 hablan una lengua extranjera. A partir de estos datos, plantea un contraste para determinar si se puede aceptar que el porcentaje de adultos que hablan una lengua extranjera en España es igual al de la Unión Europea frente a la alternativa de que es menor, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega para un nivel de significación de 0,01?

Solución:

Se trata de un contraste unilateral para la proporción de la población.

El tamaño de la muestra es n = 250.

La proporción muestral es:

Como el porcentaje de adultos de la Unión Europea que hablan una lengua extranjera es del 64%, resulta que p₀ = 0, 64.

Si consideramos como hipótesis inicial H₀ que el porcentaje de adultos que hablan una lengua extranjera en España es igual al de la Unión Europea, el contraste es:

Y se reduce a comprobar si:

Si 𝛼 = 0,01, tenemos que 1 – 𝛼 = 0,99 y, mirando en la tabla de la distribución normal, se deduce que Z _𝛼 = 2,33.

Tenemos que:

Por tanto, - Z _α = - 2,33 no es menor que – 4,224.

O, como es equivalente, - 4,224 no pertenece al intervalo de aceptación (- 2,33, + ∞).

Esto indica que, con este nivel de significación, no puede aceptarse la hipótesis inicial de que el porcentaje de adultos que hablan una lengua extranjera en España es igual al de la Unión Europea.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción A

Cuestión A1.

Cuestión A2.

Cuestión A3.

Cuestión A4.

Cuestión A5.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción A - Cuestión A5

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN A

CUESTIÓN A5. En una población, el tiempo de desplazamiento de los trabajadores al lugar de trabajo sigue una distribución normal con desviación típica de 15 minutos. Tras realizar una encuesta a una muestra aleatoria de 60 trabajadores, se ha encontrado que el tiempo medio de desplazamiento es de 45 minutos. Halla un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio de desplazamiento al lugar de trabajo de los individuos de la población.

Solución:

Los datos que tenemos son:

Como se pide un intervalo de confianza al 90%, resulta que:

Si miramos en la tabla de la distribución normal, observamos que:

0,9495 → 1,64

0,9505 → 1,65

Por tanto, se deduce que:

0,95 → 1,645

Así, ya tenemos que:

Y estamos en condiciones de hallar el intervalo de confianza.

Por tanto, el intervalo buscado es:

Indica que el tiempo medio de desplazamiento al lugar de trabajo de los individuos de la población estará entre 41, 815 y 48,185 minutos, con una confianza del 90%.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B - Cuestión B4

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN B

CUESTIÓN B4. Cierto día, la probabilidad de que llueva en la ciudad A es 0,3, la de que no llueva en la ciudad B es 0,6 y la de que llueva, al menos, en una de las dos ciudades es 0,5.

a) Calcula la probabilidad de que no llueva en ninguna de las dos ciudades.

b) Calcula la probabilidad de que llueva en las dos. ¿Son independientes los sucesos “llueve en la ciudad A” y “llueve en la ciudad B”?

Solución:

Si P (A) = 0,3 es la probabilidad de que llueva en A, la probabilidad de que no llueva en A es P (A^c) = 1 – 0,3 = 0,7.

Si P (B^c) = 0,6 es la probabilidad de que no llueva en B, la probabilidad de que  llueva en B es P (B) = 1 – 0,6 = 0,4.

La probabilidad de que llueva, al menos, en una de las dos ciudades es P (A U B) = 0,5.

Como P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B), tenemos que:

0,5 = 0,3 + 0,4 - P (A ∩ B)

P (A ∩ B) = 0,3 + 0,4 – 0,5 = 0,2

Ordenamos los datos conocidos en la siguiente tabla:

Podemos completar los datos que faltan:

a) Observamos en la tabla que la probabilidad de que no llueva en ninguna de las dos ciudades es 0,5.

b) La probabilidad de que llueva en las dos ciudades es 0,2.

Para que los sucesos mencionados sean independientes debe cumplirse que:

P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

Pero, en este caso, P (A) · P (B) = 0,3 · 0,4 = 0,12 ≠ 0,2 = P (A ∩ B).

Por tanto, los sucesos no son independientes.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B - Cuestión B3

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN B

CUESTIÓN B3. La siguiente gráfica corresponde a la función f (x) = - x² + x + a donde a es un número real.

Sabiendo que el área encerrada por el recinto acotado que limita la curva con el eje OX vale 9 / 2, utiliza esta información para hallar el valor del parámetro a.

Solución:

El área del recinto es:

Como el área es 9 / 2, tenemos que:

Resolvemos esta ecuación, para lo que multiplicamos por 2 sus dos miembros:

- 3 + 6 a = 9

6 a = 9 + 3

6 a = 12

a = 12 / 6

Por tanto, el valor del parámetro a es a = 2.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B - Cuestión B2

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OPCIÓN B

CUESTIÓN B2. Halla las derivadas de las siguientes funciones:

Solución:

a) Se trata de derivar un producto de funciones.

b) Se trata de derivar un cociente de funciones:

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B - Cuestión B1

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN B

CUESTIÓN B1. Un supermercado necesita, al menos, 80 docenas de huevos de tamaño pequeño, 120 docenas de tamaño mediano y 90 docenas de tamaño grande. Se abastece en dos granjas A y B. La granja A suministra lotes de 4 docenas de huevos pequeños, 12 docenas de huevos medianos y 2 docenas de grandes, y el coste de cada lote es de 6 euros. La granja B proporciona lotes de 2 docenas de huevos pequeños, 2 docenas de medianos y 6 docenas de grandes, con un coste de 4 euros por lote. Además, la granja A puede suministrar, como máximo, 50 lotes y la granja B puede suministrar, como máximo, 60 lotes. Halla el número de lotes que debe comprar a cada granja para satisfacer sus necesidades con el mínimo coste.

Solución:

Llamamos x al número de lotes que compra a la granja A e y al número de lotes que compra a la granja B.

Aplicando los datos del enunciado, obtenemos las siguientes condiciones:

4 x + 2 y ≥ 80

12 x + 2 y ≥ 120

2 x + 6 y ≥ 90

0 ≤ x ≤ 50

0 ≤ y ≤ 60

Y, con estas condiciones, la función coste que debemos minimizar es:

C (x, y) = 6 x + 4 y

Vamos a dibujar el recinto determinado por las cinco condiciones:

Las otras dos condiciones se representan mediante rectas verticales y horizontales (incluyendo los ejes coordenados).

Ya podemos dibujar el recinto:

La región factible es el polígono de vértices A, B, C, D, E y F. En el dibujo se ven fácilmente las coordenadas de algunos de estos vértices:

A (0, 60)       F (50, 60)        D (45, 0)        E (50, 0)

Calculamos las coordenadas de B:

Si a la primera ecuación le restamos la segunda, obtenemos que 8 x = 40, de donde se deduce que x = 5. Y, si sustituimos este valor de x en cualquiera de las ecuaciones del sistema, se obtiene que y = 30.

Por tanto,  B (5, 30).

Calculamos las coordenadas de C:

Si a la primera ecuación le restamos la segunda multiplicada por 2, obtenemos que - 10 y = - 100, de donde se deduce que y = 10. Y sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema se obtiene que x = 15.

Por tanto,  C (15, 10).

Sustituimos en la función coste los seis vértices obtenidos:

C (A) = C (0, 60) = 6 · 0 + 4 · 60 = 240 euros

C (B) = C (5, 30) = 6 · 5 + 4 · 30 = 150 euros

C (C) = C (15, 10) = 6 · 15 + 4 · 10 = 130 euros

C (D) = C (45, 0) = 6 · 45 + 4 · 0 = 270 euros

C (E) = C (50, 0) = 6 · 50 + 4 · 0 = 300 euros

C (F) = C (50, 60) = 6 · 50 + 4 · 60 = 540 euros

En conclusión, el coste mínimo es 130 euros y se consigue comprando 15 lotes a la granja A y 10 lotes a la granja B.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción A - Cuestión A4

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN A

CUESTIÓN A4. En una universidad, el 65% de sus miembros son estudiantes, el 25% profesores y el 10% personal de administración y servicios. Son mujeres el 60% de los estudiantes, el 47% de los profesores y el 52% del personal de administración y servicios. Si seleccionamos al azar un integrante de esa universidad:

a) Determina la probabilidad de que sea mujer.

b) Sabiendo que la persona seleccionada ha resultado ser hombre, halla la probabilidad de que sea estudiante.

Solución:

a) Al elegir una persona al azar, esta podrá ser estudiante, profesor o personal de administración y servicios. Con los datos conocidos empezamos a construir el diagrama de árbol:

Una vez elegida dicha persona, esta podrá ser hombre o mujer:

La persona elegida  resulta ser mujer en las ramas (1), (3) y (5). Por tanto, la probabilidad de que el miembro elegido sea mujer es la suma de las probabilidades correspondientes a dichas ramas. Es decir:

También puede expresarse diciendo que la probabilidad de que sea mujer es del 55,95 %.

b) Sabemos que la persona elegida es hombre en cualquiera de las ramas (2), (4) y (6). Pero solo es estudiante en la rama (2). Así, para el suceso cuya probabilidad queremos calcular tenemos que:

Ramas posibles: (2), (4) y (6).

Ramas favorables: (2).

Así, la probabilidad de que sea estudiante, sabiendo que ha resultado ser hombre es:

También puede expresarse diciendo que la probabilidad de que sea estudiante, sabiendo que es hombre,  es del 59,02 %.

P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción A - Cuestión A3

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN A

CUESTIÓN A3. Se considera la función definida por:

a) Representa gráficamente la función.

b) Calcula el área del recinto acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX.

Solución:

a) Observamos que se trata de una función a trozos. Los trozos en los que se divide el dominio son los intervalos (- ∞, 0) y [0, + ∞).

En el primer intervalo tenemos en cuenta lo siguiente:

- La función corresponde a una recta.

- La función corta al eje OX en el punto x = - 3.

  Efectivamente, si x + 3 = 0 se deduce que x = - 3.

- El límite de la función cuando x tiende a cero es 3.

En el segundo intervalo tenemos en cuenta lo siguiente:

- La función corresponde a una parábola.

- El vértice de la parábola es el punto ((1, 4).

 Efectivamente, si x₀ = - b / 2 a = - 2 / (- 2) = 1, se tiene que y₀ = - 1² + 2·1 + 3 = 4.

- La función corta al eje OX en el punto (3, 0).

Efectivamente, si – x² + 2 x + 3 = 0, resolviendo la ecuación de segundo grado   se obtienen como soluciones x = - 1 y x = 3. Pero la primera de las soluciones  no está dentro del intervalo [0, + ∞), por lo que sólo es válida la x = 3.

- Se tiene que f (0) = 3.

Con estos datos, ya podemos hacer la representación gráfica:

b) El área del recinto que se pide es: