Problema 10.10.

Si para rellenar un balón esférico de tamaño especial  se han necesitado 36 π litros de aire, ¿qué superficie de cuero se ha necesitado para confeccionar el balón?

Solución:

Los litros de aire que se han utilizado coinciden con el volumen de la esfera que es el balón. Utilizando la fórmula del volumen de una esfera y la equivalencia entre litro y dm³, podemos calcular el radio del balón:

Despejamos:

La superficie de cuero necesaria, coincide con el área de una esfera de radio 3 dm, es decir:

Se han necesitado 36 π  dm ²  de cuero para confeccionar el balón.

Problema 10.8.

En una pecera con forma de ortoedro, llena de agua, se introduce una esfera maciza de 10 cm de radio. Después, se saca la esfera otra vez, con lo que el nivel del agua ha bajado. ¿Qué altura alcanza el nivel del agua en la pecera al sacar la esfera, si las dimensiones del ortoedro son 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 20 cm de alto?

Solución:

Como la pecera está llena, el volumen de agua que contiene coincide con el volumen del ortoedro. Es decir:

V _{agua inicial} = 40 · 30 · 20 = 24000 cm³

Al introducir la esfera en la pecera, se desaloja un volumen de agua que coincide con el volumen de la esfera. Es decir:

De esta forma, el agua que queda en la pecera ocupa el siguiente volumen:

Este volumen de agua, al sacar la esfera, coincidirá con el volumen de un ortoedro de 40 cm de largo y 30 cm de ancho (base de la pecera) y una altura h, que es la que tenemos que determinar. Por tanto:

Despejamos h de la expresión anterior:

Si sustituimos π por 3,14, deducimos que la altura aproximada que alcanza el agua que queda en la pecera es de 16,51 cm.

Problemas y ejercicios resueltos de áreas y volúmenes I.

Área y volumen de un cilindro.

Área y volumen de un prisma hexagonal.

Área y volumen de una semiesfera.

Área y volumen de un cono.

Área y volumen de un cubo.

Subida de nivel.

Cantidad de agua.

Cantidad de agua.

En un cubo de 2 m de arista se introduce una esfera maciza que es tangente a todas las caras del cubo.

Después se añade la cantidad de agua necesaria para completar el cubo hasta el borde.

¿Cuántos litros de agua se han introducido?

Solución:

La cantidad de agua será la que corresponde al volumen del cubo menos el de la esfera. 

Calculamos el volumen del cubo, llamando x a su arista:

Al ser tangente a todas las caras del cubo, se deduce que el radio de la esfera mide 1 m. 

Calculamos su volumen:

Por tanto, la cantidad de agua introducida es:

Aproximando 𝜋 por 3,14, resulta que el volumen de agua es 3,813 m³.

Utilizando que un litro equivale a un dm³, deducimos que se han introducido aproximadamente  3813 litros de agua.

Subida de nivel.

Un vaso cilíndrico cuya base mide 6 cm de diámetro contiene agua. Se le añade un cubito de hielo (con forma de hexaedro) y entonces el nivel del agua sube 6 / π cm. 

Halla las dimensiones del cubito de hielo.

Solución:

Si llamamos h a la altura del agua antes de echar el cubito, el volumen que ocupa es el de un cilindro de altura h y cuya base mide 3 cm de radio. Es decir:

V = π · r ² · h = π · 3 ² · h = 9 π h   cm³

Cuando añadimos el cubito de hielo, la altura que alcanza el agua es h + 6 / π cm y, entonces, el volumen ocupado por el agua y el hielo es:

V´= π · 3 ² · (h + 6 / π) = 9 π h + 54   cm³

De esta forma, deducimos que el volumen ocupado por el cubito es:

V´- V = 9 π h + 54 - 9 π h = 54  cm³

Si llamamos x a la arista del cubito, tenemos que su volumen es  x³ = 54 cm³.

Por tanto, la arista del cubito de hielo mide:

Área y volumen de un cubo.

Halla el área y el volumen de un cubo en el que la diagonal de cada una de sus caras mide 50 cm.

Solución:

Para calcular el área y el volumen del cubo, necesitamos saber la longitud de su arista. Para conseguirlo, utilizamos el teorema de Pitágoras:

a ² + a ² = 50 ²

Así, la longitud de la arista es:

Ahora estamos en disposición de calcular el área y el volumen del cubo:

Área y volumen de un cono.

Halla el área y el volumen de un cono de 20 m de generatriz y cuya base mide 24 m de diámetro.

Solución:

Calculamos en primer lugar la altura del cono utilizando el teorema de Pitágoras:

Ahora podemos calcular el área  y  el volumen del cono:

Área y volumen de una semiesfera.

Calcula el área y el volumen de una semiesfera maciza, de madera,de radio 6 m.

Solución:

Si consideramos la esfera completa de radio 6 m, su área y su volumen son:

El volumen de la semiesfera es la mitad del volumen de la esfera. Es decir:

Volumen _semiesfera = 288 π / 2 = 144 π   m³

El área de la semiesfera está formada por la mitad del área de la esfera completa más el área del círculo de radio 6 m. Es decir:

Área _semiesfera = (144 π / 2) + π · 6² = 72 π + 36 π = 108 π  m²

Área y volumen de un prisma hexagonal.

Calcula el área y el volumen de un prisma recto de 30 cm de altura, y cuya base es un hexágono regular de 60 cm de perímetro.

Solución:

En primer lugar, vamos a calcular el área de una de las bases. Para ello, utilizaremos la fórmula del área de un polígono regular:

Necesitamos  conocer la longitud de su apotema y, para ello, descomponemos el hexágono en seis triángulos iguales:

Por tratarse de un hexágono regular, cada uno de los seis triángulos es equilátero y sus lados medirán 10 cm, ya que el perímetro del hexágono es de 60 cm. Y, además, la apotema del hexágono coincide con la altura de cualquiera de los triángulos.

Calculemos dicha apotema:

Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos:

Así, el área de la base del prisma es:

El área lateral del prisma es la de un rectángulo de 30 cm de altura y cuya base coincide con el perímetro del hexágono. Por tanto:

Como conclusión, el área del prisma es:

El volumen del prisma se calcula multiplicando el área de una de sus bases por la altura del prisma:

Área y volumen de un cilindro.

Calcula el área y el volumen de un cilindro de 20 dm de altura, sabiendo que el diámetro de su base mide 30 cm.

Solución:

El área del cilindro será la formada por la de las dos bases y el área lateral.

Cada base es un círculo de 30 cm de diámetro, es decir, con un radio de 15 cm. Y el área de cada uno de esos círculos es:

El área lateral es la de un rectángulo cuya altura es de 20 dm (200 cm) y cuya base coincide con la longitud de la circunferencia de la base del cilindro.

Así, la base del rectángulo mide:

Y el área del rectángulo es:

Como conclusión, el área del cilindro es:

El volumen del cilindro lo calculamos multiplicando el área de una base por la altura del cilindro, es decir: