domingo, 13 de noviembre de 2016

Ejercicios resueltos del Teorema del Resto.

1. Calcula el valor de m para que al dividir entre x - 2 el polinomio    p (x) = 5 x4 + x2 – m x – 4, el resto de la división sea 8.

Solución:

Por el teorema del resto sabemos que el resto de dicha división coincide con el valor numérico del polinomio p (x) en x = 2.

Es decir:

p (2) = 8

Desarrollamos esta igualdad:

5 · 24 + 22 – 2 m – 4 = 8

80 + 4 – 2m – 4 = 8

Resolvemos la ecuación obtenida:

- 2 m = 8 – 80

- 2 m = - 72

m = 36

2. Calcula el valor de m para que al dividir entre x + 3 el polinomio    p (x) = - 3 x3 + m x2 – 2 x + 5, el resto de la división sea 2.

Solución:

Por el teorema del resto sabemos que el resto de dicha división coincide con el valor numérico del polinomio p (x) en x = - 3.

Es decir:

p (- 3) = 2

Desarrollamos esta igualdad:

- 3 · (- 3)3 + m ·(- 3)2 – 2 · (- 3) + 5 = 2

81 + 9 m + 6 + 5 = 2

Resolvemos la ecuación obtenida:

9 m = 2 – 92

9 m = - 90

m = - 10

3. Halla el valor de m para que el polinomio p(x) sea divisible entre    x -2, siendo p (x) = 2 x3 + 3 x2 – m x + 3.

Solución:

Para que p (x) sea divisible entre x -2, al dividir p (x) entre x - 2 se ha de obtener de resto cero. Por el teorema del resto sabemos que el resto de dicha división coincide con el valor numérico del polinomio p (x) en x = 2.

Es decir:

p (2) = 0

Desarrollamos esta igualdad:

2 · 23 + 3 · 22 – m · 2 + 3 = 0

16 + 12 – 2 m + 3 = 0

Resolvemos la ecuación obtenida:

-   2 m = - 31

m = 31 / 2

4. Halla el valor de m para que el polinomio p(x) sea divisible entre    x + 1, siendo p (x) = m x4 + 2 x3 –  x + 6.

Solución:

Para que p (x) sea divisible entre x + 1, al dividir el polinomio   p (x) entre x + 1 se ha de obtener de resto cero. Por el teorema del resto sabemos que el resto de dicha división coincide con el valor numérico del polinomio p (x) en x = - 1.

Es decir:

p (- 1) = 0

Desarrollamos esta igualdad:

m · (- 1)4 + 2 · (- 1)3 – (- 1) + 6 = 0

m - 2 + 1 + 6 = 0

Resolvemos la ecuación obtenida:

m + 5 = 0

m = - 5

5.Calcula los valores de a y b, sabiendo que  p (x) = 2 x2 + a x – b es divisible por x – 3 y por x + 1.

Solución:

Al dividir p (x) entre x -3 y entre x + 1, el resto de ambas divisiones debe ser cero. Aplicando el teorema del resto, se deduce que p (3) = 0 y p (- 1) = 0.

Desarrollamos ambas igualdades:

p (3) = 0

2 · 32 + 3 a – b = 0

18 + 3 a – b = 0

3 a – b = - 18

p (- 1) = 0

2 · (- 1)2 + (- 1) ·a – b = 0

2 - a – b = 0

- a – b = - 2

a + b = 2

Formamos un sistema con las dos ecuaciones obtenidas y lo resolvemos:

3 a – b = - 18
a + b = 2

Sumando ambas ecuaciones, se tiene que:

4 a = - 16

a = - 16 / 4 = - 4

Sustituyendo en la segunda ecuación del sistema este valor de a, se deduce que:

- 4 + b = 2

b = 2 + 4 = 6

Por tanto, los valores buscados son a = - 4 y b = 6.

6.Calcula los valores de a y b, sabiendo que  p (x) = 2 x2 + a x – b es divisible por x – 2 y que al dividirlo entre x – 1 el resto de la división es - 3.

Solución:

Al dividir p (x) entre x - 2 el resto de la división debe ser cero y al dividirlo entre x – 1 el resto ha de ser - 3. Si aplicamos el teorema del resto, se deduce que p (2) = 0 y p (1) = - 3.

Desarrollamos ambas igualdades:

p (2) = 0

2 · 22 + 2 a – b = 0

8 + 2 a – b = 0

2 a – b = - 8

p (1) = - 3

2 · 12 + a – b = - 3

2 + a – b = - 3

a – b = - 5

Formamos un sistema con las dos ecuaciones obtenidas y lo resolvemos:

2 a – b = - 8
a - b = - 5

Si a la primera ecuación le restamos la segunda, se tiene que:

a = - 3

Sustituyendo en la segunda ecuación del sistema este valor de a, se deduce que:

- 3 - b = - 5

- b = - 2

 b = 2


Por tanto, los valores buscados son a = - 3 y b = 2.