jueves, 6 de diciembre de 2018

Recorriendo el Sistema Solar


Una chica de 1,70 m de estatura recorre el ecuador de la Tierra, dando una vuelta completa.

a) ¿Qué longitud habrá recorrido más su cabeza que sus pies?

b) ¿Y si hubiese recorrido el ecuador de Marte?

c) ¿Y en el caso de recorrer el ecuador de la Luna?

Solución:

a) Supongamos que el radio de la Tierra mide r metros.

La longitud que recorren sus pies coincide con la longitud de la circunferencia de radio r, es decir:

L pies = 2 · π · r  metros

La longitud que recorre su cabeza será la de la circunferencia de radio (r + 1,70) metros, es decir:

L cabeza = 2 · π · (r + 1,70)  metros =

= 2 · π · r + 2 · π · 1,70  metros

Por tanto, la solución es:

L cabeza - L pies = (2 · π · r + 2 · π · 1,70) - 2 · π · r =

= 2 · π · 1,70 = 10,676 metros

b) Supongamos que el radio Marte mide R metros.

La longitud que recorren sus pies coincide con la longitud de la circunferencia de radio R, es decir:

L pies = 2 · π · R  metros

La longitud que recorre su cabeza será la de la circunferencia de radio (R + 1,70) metros, es decir:

L cabeza = 2 · π · (R + 1,70) metros = 

= 2 · π · R + 2 · π · 1,70 metros

Por tanto, la solución es:

L cabeza - L pies = (2 · π · R + 2 · π · 1,70) - 2 · π · R = 

= 2 · π · 1,70 = 10,676 metros

c) La solución es la misma que en los dos apartados anteriores pues, como se observa, dicha distancia no depende de la longitud del radio de la esfera cuyo ecuador se recorre.



domingo, 10 de junio de 2018

Ejercicio de representación gráfica de una función (trigonométrica I)


Haz el estudio local de la función siguiente y represéntala gráficamente:

f(x) = sen (2x)

Solución:

Dominio: la función seno está definida en todos los números reales, por lo que su dominio es R. Además, como el valor del seno de un ángulo varía entre – 1 y 1, sabemos que su imagen será el intervalo [- 1, 1].

Periodicidad: la función sen x es periódica de periodo 2π, por lo que esta función también es periódica y calculamos su periodo:

2 x = 2 π ;    x = π

Luego la función es periódica de periodo π. De esta forma, la podemos estudiar en el intervalo [0, π].

Puntos de corte con los ejes:


Si x = 0, f(0) = 0 y, por tanto, la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0, 0).


Si f(x) = 0, resulta que sen (2 x) = 0. Resolvemos esta ecuación:

2 x = 0 ó  2 x = π

x = 0 ó x = π/2

Por tanto, la gráfica corta al eje de abscisas en los puntos de coordenadas (0, 0) y (π/2, 0).

Regiones de existencia (o intervalos de signo constante):

Teniendo en cuenta los puntos de corte con el eje de abscisas y que, al ser periódica, estudiamos la función en el intervalo [0, π], obtenemos los intervalos siguientes:

 (0, π/2) y (π/2, π)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen:

f(π/4) = sen (π/2) = 1 > 0

f(3π/4) = sen (3π/2)= - 1 < 0

Así, f(x)> 0 en (0, π/2) y f(x)< 0 en (π/2, π).

Simetrías:

f(- x)= sen (- 2 x) = - sen (2 x) = - f(x)

Luego la función presenta simetría impar.

Asíntotas:

La función seno no tiene asíntotas ya que está definida en todo R y, además, es continua y periódica, oscilando su imagen siempre entre – 1 y 1.

Intervalos de monotonía:

f´(x) = 2 cos (2 x)

Resolvemos la ecuación 2 cos (2 x)= 0:

cos (2 x) = 0

2x = π/2 ó  2x = 3π/2

x = π/4 ó x = 3π/4

Así se obtienen los intervalos siguientes:

(0, π/4), (π/4, 3π/4) y (3π/4, π)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen mediante la función derivada:



Por tanto:

La función es estrictamente decreciente en (π/4, 3π/4).

Y es estrictamente creciente en (0, π/4) U (3π/4, π).

Extremos relativos:

Consideramos las soluciones de la ecuación f´(x) = 0.

Son x = π/4 y x = 3π/4.

Hallamos la imagen de estos valores mediante la segunda derivada:


f´´(x) = 2 · 2[- sen (2 x)]= - 4 sen (2 x)

f´´(π/4) = - 4 sen (π/2) = - 4 < 0   
    
f´´(3π/4) = - 4 sen (3 π/2) = 4 > 0

 Por tanto:

(π/4, f(π/4))= (π/4, 1) es máximo relativo

(3π/4, f(3π/4)) = (3π/4, - 1) es mínimo relativo

Intervalos de curvatura:


Resolvemos la ecuación f´´(x) = 0.

- 4 sen (2x)= 0

sen (2x)= 0

2x = 0 ó 2x = π

x = 0 ó x = π/2

Quedan determinados los intervalos (0, π/2) y (π/2, π).

Tomamos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:

f´´(π/4) = - 4 sen (π/2)= - 4 < 0  

f´´(3π/4) = - 4 sen (3π/2)= 4 > 0

Así, f(x) es convexa en el intervalo (0, π/2) y es cóncava en (π/2, π).

Puntos de inflexión:

Consideramos las soluciones de la ecuación f´´(x) = 0.

Son x = 0 y x = π/2.

Sustituimos estos valores de x en f´´´(x):

f´´´(x)= - 4 · 2 cos (2x)= - 8 cos (2x)

f´´´(0)= - 8·1 ≠ 0

f´´´(π/2)= - 8·(- 1)= 8 ≠ 0

Así, los puntos (0, f(0))  y (π/2, f(π/2))  son puntos de inflexión. 

Es decir, los puntos

(0, f(0))= (0, 0)

(π/2, f(π/2))= (π/2, 0)

Con todos los datos obtenidos, ya podemos dibujar la gráfica de la función: