Recorriendo el Sistema Solar

Una chica de 1,70 m de estatura recorre el ecuador de la Tierra, dando una vuelta completa.

a) ¿Qué longitud habrá recorrido más su cabeza que sus pies?

b) ¿Y si hubiese recorrido el ecuador de Marte?

c) ¿Y en el caso de recorrer el ecuador de la Luna?

Solución:

a) Supongamos que el radio de la Tierra mide r metros.

La longitud que recorren sus pies coincide con la longitud de la circunferencia de radio r, es decir:

L _pies = 2 · π · r  metros

La longitud que recorre su cabeza será la de la circunferencia de radio (r + 1,70) metros, es decir:

L _cabeza = 2 · π · (r + 1,70)  metros =

= 2 · π · r + 2 · π · 1,70  metros

Por tanto, la solución es:

L _cabeza - L _pies = (2 · π · r + 2 · π · 1,70) - 2 · π · r =

= 2 · π · 1,70 = 10,676 metros

b) Supongamos que el radio Marte mide R metros.

La longitud que recorren sus pies coincide con la longitud de la circunferencia de radio R, es decir:

L _pies = 2 · π · R  metros

La longitud que recorre su cabeza será la de la circunferencia de radio (R + 1,70) metros, es decir:

L _cabeza = 2 · π · (R + 1,70) metros = 

= 2 · π · R + 2 · π · 1,70 metros

Por tanto, la solución es:

L _cabeza - L _pies = (2 · π · R + 2 · π · 1,70) - 2 · π · R = 

= 2 · π · 1,70 = 10,676 metros

c) La solución es la misma que en los dos apartados anteriores pues, como se observa, dicha distancia no depende de la longitud del radio de la esfera cuyo ecuador se recorre.

Problema 12.

De un paralelogramo ABCD sabemos las coordenadas de tres de sus vértices:

B(5, 1), C(- 2, 0) y D(- 6, 2)

Encuentra las coordenadas del vértice A.

Solución:

Al tratarse de un paralelogramo, tal y como se observa en la figura, debe cumplirse que:

Por tanto, si A(x, y) tenemos que:

(5 – x, 1 – y) = (- 2 + 6, 0 – 2)

(5 – x, 1 – y) = (4, – 2)

Luego:

5 – x = 4, de donde se deduce que x = 1

1 – y = - 2, de donde y = 3

Así, el vértice buscado es A(1, 3).

Problema 11.

Calcula un vector que sea unitario y tenga la misma dirección y sentido que el vector cuyas coordenadas son (4/3, -1).

Solución:

Calculamos el módulo del vector de coordenadas (4/3, -1):

Dividimos cada coordenada del vector dado por el módulo obtenido:

Así, un vector unitario (con módulo igual a 1), con la misma dirección y el mismo sentido que el dado inicialmente es el vector cuyas coordenadas son (4/5, - 3/5.)

Vectores en el plano

Teoría.

Problemas resueltos.

Matematicómic 1

Preparación de Olimpiadas Matemáticas de E.S.O.

Aquí tenéis una  serie de problemas resueltos que os ayudarán a preparar las Olimpiadas Matemáticas.

Pincha en cada uno de los problemas.

Problema 1.         Problema 41.          Problema 81.                 Problema 121.            Problema 161.
Problema 2.         Problema 42.          Problema 82.                 Problema 122.
Problema 3.         Problema 43.          Problema 83.                 Problema 123.
Problema 4.         Problema 44.          Problema 84.                 Problema 124.
Problema 5.         Problema 45.          Problema 85.                 Problema 125.
Problema 6.         Problema 46.          Problema 86.                 Problema 126.
Problema 7.         Problema 47.          Problema 87.                 Problema 127.
Problema 8.         Problema 48.          Problema 88.                 Problema 128.
Problema 9.         Problema 49.          Problema 89.                 Problema 129.
Problema 10.       Problema 50.          Problema 90.                 Problema 130.
Problema 11.       Problema 51.          Problema 91.                 Problema 131.
Problema 12.       Problema 52.          Problema 92.                 Problema 132.
Problema 13.       Problema 53.          Problema 93.                 Problema 133.
Problema 14.       Problema 54.          Problema 94.                 Problema 134.
Problema 15.       Problema 55.          Problema 95.                 Problema 135.
Problema 16.       Problema 56.          Problema 96.                 Problema 136.
Problema 17.       Problema 57.          Problema 97.                 Problema 137.
Problema 18.       Problema 58.          Problema 98.                 Problema 138.
Problema 19.       Problema 59.          Problema 99.                 Problema 139.
Problema 20.       Problema 60.          Problema 100.               Problema 140.
Problema 21.       Problema 61.          Problema 101.               Problema 141.
Problema 22.       Problema 62.          Problema 102.               Problema 142.
Problema 23.       Problema 63.          Problema 103.               Problema 143.
Problema 24.       Problema 64.          Problema 104.               Problema 144.
Problema 25.       Problema 65.          Problema 105.               Problema 145.
Problema 26.       Problema 66.          Problema 106.               Problema 146.
Problema 27.       Problema 67.          Problema 107.               Problema 147.
Problema 28.       Problema 68.          Problema 108.               Problema 148.
Problema 29.       Problema 69.          Problema 109.               Problema 149.
Problema 30.       Problema 70.          Problema 110.               Problema 150.
Problema 31.       Problema 71.          Problema 111.               Problema 151.
Problema 32.       Problema 72.          Problema 112.               Problema 152.
Problema 33.       Problema 73.          Problema 113.               Problema 153.
Problema 34.       Problema 74.          Problema 114.               Problema 154.
Problema 35.       Problema 75.          Problema 115.               Problema 155.
Problema 36.       Problema 76.          Problema 116.               Problema 156.
Problema 37.       Problema 77.          Problema 117.               Problema 157.
Problema 38.       Problema 78.          Problema 118.               Problema 158.
Problema 39.       Problema 79.          Problema 119.               Problema 159.
Problema 40.       Problema 80.          Problema 120.               Problema 160.

Solución Piensa y resuelve 17.

Una bicicleta tiene una rueda delantera de 5 m de circunferencia mientras que su rueda trasera tiene 4 m de circunferencia.

Al recorrer 800 metros con dicha bicicleta, ¿cuántas vueltas menos dará la rueda delantera que la trasera?

Solución:

La rueda delantera, al tener un contorno de 5 m, dará 800 / 5 = 160 vueltas.

La rueda trasera, al tener un contorno de 4 m, dará 800 / 4 = 200 vueltas.

Por tanto, la rueda delantera dará 40 vueltas menos que la trasera.

Problema 11.5.

Carlos hace una reserva para ir a comer a un restaurante con su esposa y sus cuatro hijos. Cuando llega al restaurante le cobran 5 euros por la reserva.

Todos piden el menú del día y, una vez terminada la comida, toman unos helados que no están incluidos en el menú diario.

A la hora de pagar, como a los 84 euros que cuestan los menús hay que sumar el precio de los helados, resulta que la cuenta es superior a 100 euros y, por ello, les hacen un 15% de descuento. Además, les devuelven el importe de la reserva.

Carlos entrega en caja un billete de 100 € y uno de 20 €. Le devuelven 14,50 €.

¿Cuál es el importe de los helados? ¿Cuál es el precio del menú del día?

Solución:

Si llamamos p al precio de los helados, los menús más los helados ascienden a (84 + p) €.

El descuento del 15% de dicho importe asciende a:

Así, lo que tienen que pagar es (84 + p) €, menos el descuento, y menos los 5 € de la reserva.

Como ha entregado 120 € y le devuelven 14,50, resulta que le han cobrado 105,50 €. Por tanto:

Resolvemos la ecuación:

1680 + 20 p – 252 – 3 p – 100 = 2110

17 p = 2110 – 1680 + 252 + 100

17 p = 782

p = 782 / 17 = 46 €

El precio de los helados es 46 euros.

Por los menús del día debían pagar 84 € y, al ser 6 comensales, resulta que el precio del menú diario es de 84 / 6 = 14 euros.

Problema 11.4.

María, Carlos, Lola y Álvaro están colocados en fila india, pero no sabemos en qué orden.

El primero de la fila dice 5, el segundo dice 10, el tercero dice 15, el cuarto dice 20, el primero sigue diciendo 25 y así, sucesivamente, siguen contando de cinco en cinco.

María ha dicho 115; Álvaro ha dicho 85 y Lola ha dicho 170.

¿En qué orden están colocados en la fila?

Solución:

Si se divide 115 entre 5, se obtiene 23, Esto indica que si hubiesen contado de uno en uno, en lugar de contar de cinco en cinco, María habría dicho 23.

Como son cuatro los amigos en la fila, si dividimos 23 entre 4 obtenemos 5 de cociente y 3 de resto, por lo que María se encuentra en tercera posición.

Si dividimos 85 entre 5, obtenemos 17. Siguiendo el mismo razonamiento anterior, como la división de 17 entre 4 da 4 de cociente y 1 de resto, resulta que Álvaro es el primero de la fila.

Al dividir  170 entre 5, se obtiene 34 y, al dividir 34 entre 4, se tiene 8 de cociente y 2 de resto. Así, Lola ocupa la segunda posición en la fila.

La posición restante estará ocupada por Carlos.

Así, el primero de la fila es Álvaro, la segunda es Lola, la tercera María y el cuarto Carlos.

Problema 11.3.

Alejandro está ordenando las piezas de madera de su juego de arquitectura, que está compuesto por piezas de los colores verde, azul, rojo y amarillo.

Observa que las piezas verdes son 7 / 8 del total formado por todas las piezas restantes.

Además, se da cuenta de que los números de piezas azules, amarillas y rojas son los tres iguales.

¿Cuántas piezas hay de cada color, sabiendo que el juego está formado por un número de piezas comprendido entre 80 y 100?

Solución:

Si llamamos N al número de piezas que componen el juego y V al número de las de color verde, resulta que V será 7 / 8 de N – V. Es decir:

Despejamos V a partir de la igualdad anterior:

8 · V = 7 · N – 7 · V

8 V + 7 V = 7 N

15 V = 7 N

- Como V ha de ser un número entero, resulta que N debe ser múltiplo de 15.

- Pero, además, debe estar comprendido entre 80 y 100.

El único número que cumple ambas condiciones es el 90, que será el número de piezas totales del juego.

Ya podemos calcular el número de piezas verdes:

El número de las restantes será 90 – 42 = 48.

Y como los otros tres colores se encuentran en la misma proporción, se deduce que el número de piezas de cada uno de esos tres colores será 48 / 3 = 16.

Así, el juego está formado por 42 piezas verdes, 16 azules, 16 amarillas y 16 rojas.

Problema 11.2.

En el año 2025, María será una niña tal que su edad en ese momento cumplirá la condición siguiente:

“La edad de María coincidirá con la suma de las cifras del año de su nacimiento”.

¿En qué año nació María?

Solución:

Si en el año 2025 va a ser una niña, está claro que el año de su nacimiento es de la forma 20ab.

Por tanto, su edad en ese momento será 2025 – 20ab. Es decir, que será:

2 · 10 ³ + 0 · 10 ² + 2 · 10 + 5 - 2 · 10 ³ - 0 · 10 ² - a · 10 – b =

= 20 + 5 – 10 a – b = 25 – 10 a – b

Como la suma de las cifras de su año de nacimiento es 2 + 0 + a + b, tenemos la siguiente igualdad:

25 – 10 a – b = 2 + a + b

La simplificamos:

23 = 11 a + 2 b

Y despejamos la incógnita a:

Ya que tanto a como b han de ser números enteros comprendidos entre 0 y 9, para que se cumpla esta igualdad solo es posible que b = 6 y a =1.

Así, el año de nacimiento de María es el 2016.

Problema 11.1.

Calcula la superficie y el perímetro de la figura A, sabiendo que el lado del cuadrado en el que está inscrita mide 10 cm.

Solución:

Si dividimos el cuadrado en cuatro cuadrados iguales, tenemos la figura siguiente:

De esta forma, el cuadrado ha quedado dividido en ocho piezas.

Se observa que la figura de la que queremos calcular el perímetro y la superficie está formada por dos piezas del tipo a y otras dos del tipo b. Además, el cuadrado completo está formado por cuatro piezas del tipo a y otras cuatro del tipo b.

Se deduce, por tanto, que la superficie de la figura A es la mitad de la superficie del cuadrado, cuyo lado es l = 10 cm. Es decir:

Superficie de A = l ² / 2 =  10 ² / 2 = 100 / 2 = 50 cm ²

El arco de circunferencia que aparece en cada pieza del tipo a y en cada pieza del tipo b es un cuarto de una circunferencia de radio 5 cm (la mitad del lado del cuadrado). Así, el perímetro de la figura A, al estar formado por cuatro cuartos de dicha circunferencia, coincide con la longitud de la circunferencia completa. Es decir:

Perímetro de A = 2 · π · r = 2 · π · 5 = 10 π  cm

Combinatoria.

Teoría de Combinatoria.

Números combinatorios. Triángulo de Pascal.

Ejercicios resueltos de Combinatoria.

Problemas resueltos de Combinatoria.

Problemas resueltos de Combinatoria.

Problema 1.

Problema 2.

Problema 3.

Problema 4.

Problema 5.

Problema 6.

Problema 7.

Problema 8.

Problema 9.

Problema 10.

Problema 10.

Con los números 2, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de cinco cifras podremos formar? ¿Cuántos serán impares?

Solución:

Los números de cinco cifras serán las agrupaciones de los cuatro dígitos (2, 4, 5 y 6) tomados de cinco en cinco.

Es evidente que influye el orden y que deben repetirse (pueden repetirse todos los dígitos y cada uno de ellos puede repetirse desde una hasta cinco veces).

Por tanto, se trata del número de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de cinco en cinco.

El número de estas variaciones con repetición es:

Por tanto, se pueden formar 1024 números distintos de cinco cifras.

De ellos, serán impares solamente los que terminen en 5 (los demás dígitos son pares).

Es decir, como son cuatro los dígitos que se utilizan, la cuarta parte de los números terminarán en 5.

Por tanto, 1024 / 4 = 256 números son impares. 

Problema 9.

Se dispone de ocho monedas en fila. Tres de ellas son de un euro, una es de dos euros y las restantes son de 50 céntimos. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar?

Solución:

Las formas distintas de ordenarlas son las agrupaciones de tres elementos (moneda de un euro, moneda de dos euros y moneda de 50 céntimos), de forma que el primer elemento se repite 3 veces, el segundo una vez y el tercero cuatro veces.

Está claro que influye el orden y se trata de permutaciones con repetición.

Así, las formas diferentes en las que se pueden ordenar son: