Problema 10.9.

Si en un tetraedro regular se dobla la longitud de su arista, ¿qué ocurrirá con su área?

Solución:

Suponemos un tetraedro regular cuya arista es a. Sus cuatro caras son triángulos equiláteros de lado a y, por tanto, la superficie del tetraedro es cuatro veces la superficie de una de sus caras.

Si en una de las caras trazamos su altura obtenemos lo siguiente:

Aplicando el teorema de Pitágoras, se deduce que:

De esta forma, el área del triángulo equilátero de lado a es:

Y la superficie del tetraedro será cuatro veces la superficie anterior, es decir:

Si consideramos el tetraedro de arista doble, sus caras serán triángulos equiláteros de lado 2 a. Y repetimos el proceso anterior:

Aplicando el teorema de Pitágoras, se deduce que:

De esta forma, el área del triángulo equilátero de lado a es:

Y la superficie del tetraedro será cuatro veces la superficie anterior, es decir:

Observando las superficies de los dos tetraedros, se deduce que si la arista de un tetraedro regular dobla su longitud, la superficie del tetraedro se cuadruplica.