jueves, 31 de marzo de 2016

Problema 9.


Calcula el valor de a para que sea ortonormal la siguiente base de V2:


Solución:

Para que B sea una base ortonormal, los vectores que la forman han de ser unitarios (de módulo 1) y perpendiculares (su producto escalar ha de ser nulo).

Está claro que el módulo del primer vector es 1:


El módulo del segundo vector es:


Para que este módulo sea igual a 1, ha de cumplirse que:


25 a2 = 4

a2 = 4 / 25

Y por tanto:


Así, B será ortonormal si a = 2 / 5 ó a = - 2 / 5, pues es fácil comprobar que, en ambos casos, el producto escalar de los dos vectores de la base es igual a cero.

En efecto, si a = 2 / 5:


De la misma forma, si a = - 2 / 5:


Problema 8.


Consideramos la siguiente base de V2:


Esta base cumple las siguientes condiciones:


Dos vectores tienen respecto de la base B las siguientes coordenadas:


Calcula el producto escalar de estos dos vectores.

Solución:

Expresamos los vectores dados en función de los vectores de la base B:



Realizando el producto escalar de estos vectores, obtenemos:




Sustituyendo por sus valores los módulos de los vectores y su producto escalar, se deduce que:




Problema 7.


Dados A (-1, a), B (2, 0) y C (-1, - a), halla el valor de a para que el triángulo ABC sea equilátero.

Solución:


Para que el triángulo sea equilátero, sus tres lados han de tener la misma longitud y, por ello, deben tener el mismo módulo los tres vectores siguientes:


Hallamos las coordenadas de los tres vectores:




Calculamos sus módulos:




Para que los módulos de los tres sean iguales debe cumplirse que:


Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación y se deduce que:

9 + a2 = 4 a2

9 = 3 a2

a2 = 3

Por tanto, a puede tomar los siguientes valores:


Problema 6.


Tenemos un vector que, respecto de la base canónica, es:


Calcula el valor de a para que las coordenadas de dicho vector sean (5, - 2) al expresarlo respecto de la base siguiente:


Solución:

Si las coordenadas del vector son (5, - 2) respecto de la base B, tenemos que:


Sustituyendo los vectores por sus coordenadas, deducimos que:

(a, - 19) = 5 · (- 1, - 3) – 2 · (- 3, 2)

(a, - 19) = (- 5, - 15) – (- 6, 4)

(a, - 19) = (1, - 19)

Por tanto, a = 1.

miércoles, 30 de marzo de 2016

Problema 5.


Consideramos los vectores:


Resuelve el sistema de ecuaciones siguiente:


Solución:

Sumando las dos ecuaciones, obtenemos: 




Por tanto, resulta que:


Despejando en la segunda ecuación del sistema, se tiene que:




Problema 4.


Dados los siguientes vectores, expresa el primero como combinación lineal de los otros dos:


Solución:

Debemos encontrar dos números reales m y n tales que:


De esta forma:

(30, - 51) = m · (- 2, 5) + n · (4, - 6)

(30, - 51) =  (- 2 · m, 5 · m) + (4 · n, - 6 · n)

(30, - 51) =  (- 2 m + 4 n, 5 m – 6 n)

Igualando coordenadas, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:


Multiplicamos por 5 la primera ecuación y por 2 la segunda:


Sumamos las dos ecuaciones:

8 n = 48

Y despejamos el valor de n:    n = 6

Sustituimos este valor en la primera ecuación del sistema inicial:

- 2 m + 4 · 6 = 30

- 2 m = 30 – 24

- 2 m = 6

Y despejamos el valor de m:    m = - 3

Por tanto, deducimos que:


Problema 3.


Dados A (1, a) y B (5, 4), encuentra los valores de a para que la distancia entre los puntos A y B sea 5.

Solución:


Consideramos el vector:


La distancia entre los puntos A y B coincide con el módulo de este vector.

Calculamos dicho módulo:


Como la distancia entre A y B ha de ser igual a 5, deducimos la ecuación siguiente:


Para resolverla elevamos al cuadrado sus dos miembros y se tiene que:

a2 – 8 a + 32 = 25

a2 – 8 a + 7 = 0

Resolvemos esta ecuación de segundo grado:


Así pues, los valores que puede tomar a son a = 7 y a = 1.