Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa determinar sus ángulos y las longitudes de sus lados, a partir de los datos conocidos.

Para resolver un triángulo rectángulo se pueden utilizar como herramientas todas las siguientes:

-Teorema de Pitágoras.

-Las definiciones de las razones trigonométricas.

-El hecho de que los tres ángulos suman 180^o.

-La Fórmula Fundamental de la Trigonometría.

(sen α)² + (cos α)² = 1 para todo ángulo α

La demostración de esta fórmula aparece en la entrada “Razones trigonométricas de un ángulo agudo”.

-La relación entre la tangente, el seno y el coseno de un ángulo, que también se estudia en la entrada de “Razones trigonométricas de un ángulo agudo”.

-La relación entre la cotangente, el seno y el coseno de un ángulo.

Vamos a demostrarla.

-La relación siguiente:

(sec α)² = 1 + (tg α)²

Vamos a demostrarla.

-La relación siguiente:

(cosec α)² = 1 + (cotg α)²

Vamos a demostrarla.

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Las razones trigonométricas de un ángulo no dependen de las longitudes de los lados del triángulo, sino solamente de la amplitud del ángulo.

En efecto, consideramos los dos triángulos semejantes siguientes:

Por ser semejantes, el ángulo A es el mismo en ambos triángulos.

Si nos fijamos en las figuras anteriores, y calculamos el seno y el coseno del ángulo A utilizando los dos triángulos, tenemos que:

Pero, por la semejanza de los triángulos, se cumple que:

Por tanto, el seno y el coseno de A no dependen de la longitud de los lados del triángulo.

Y se ve fácilmente que, si la hipotenusa del triángulo mide la unidad de longitud, el seno de A coincide con su cateto opuesto y el coseno de A coincide con su cateto contiguo.

Circunferencia goniométrica

Es aquella cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y cuyo radio es la unidad de longitud.

Se divide en cuatro cuadrantes determinados por los ejes coordenados, que se numeran en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Si consideramos un ángulo α del primer cuadrante, tenemos lo siguiente:

Teniendo en cuenta que los triángulos OPR, OQS y OTU son semejantes:

Si consideramos un ángulo β del segundo cuadrante, tenemos lo siguiente:

sen β = PQ

cos β = OP

Además, si consideramos el ángulo α = 180^o – β, este último estará en el primer cuadrante:

Es fácil observar que sen β = PQ = sen α y que cos β = OP = - cos α.

Si consideramos un ángulo σ del tercer cuadrante, tenemos:

Observamos que sen σ = PQ y cos σ = OP.

Además, el ángulo α = σ – 180^o está en el primer cuadrante.

Y se observa que sen σ = - sen α  y  cos σ = - cos α.

Si consideramos un ángulo φ del cuarto cuadrante, tenemos:

Observamos que sen φ = PQ y cos φ = OP.

Además, el ángulo α = 360^o - φ está en el primer cuadrante.

Y se observa que sen φ = - sen α  y  cos φ =  cos α.

De todas las consideraciones anteriores podemos deducir que, para cualquier ángulo α se verifica lo siguiente:

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

sen α es positivo si α está en el primero o en el segundo cuadrante

sen α es negativo si α está en el tercero o en el cuarto cuadrante

cos α es positivo si α está en el primero o en el cuarto cuadrante

cos α es negativo si α está en el segundo o en el tercer cuadrante

Además, se observa que:

sen 0^o = 0, cos 0^o = 1

 sen 90^o = 1, cos 90^o = 0

 sen 180^o = 0, cos 0^o = -1

 sen 270^o = -1, cos 0^o = 0

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Para definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo utilizamos un triángulo rectángulo.

Se define el seno del ángulo A como la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa; es decir:

Se define el coseno de A como la razón entre su cateto contiguo y la hipotenusa; es decir:

Se define la tangente de A como la razón entre su cateto opuesto y su cateto contiguo;  es decir:

Se define la cosecante de A como la razón entre la hipotenusa y su cateto opuesto; es decir, es el inverso del seno de A:

Se define la secante de A como la razón entre la hipotenusa y su cateto contiguo; es decir, es el inverso del coseno de A:

Se define la cotangente de A como la razón entre su cateto contiguo y su cateto opuesto; es decir, es el inverso de la tangente de A:

A partir de estas definiciones, es fácil deducir la siguiente relación entre el seno y el coseno de un ángulo:

Como el triángulo ABC es rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras y, por tanto, se tiene que  a ² + c ² = b ². Si tenemos en cuenta este resultado en la expresión anterior, se deduce que:

Esta expresión se conoce como Fórmula fundamental de la Trigonometría.

También se deduce fácilmente la siguiente relación entre la tangente, el seno y el coseno de un ángulo:

Luego se tiene que:

Si nos fijamos en el triángulo rectángulo del principio, observamos que el cateto opuesto al ángulo A es el cateto contiguo al ángulo C y el cateto contiguo al ángulo A es el cateto opuesto al ángulo C. Además, los ángulos A y C son complementarios, ya que suman 90^o.

Luego, como conclusión, si dos ángulos A y C son complementarios, se cumple que:

sen A = cos C           cos A = sen C          tg A = cotg C      

cosec A = sec C       sec A = cosec C       cotg A = tg C

Razones trigonométricas del ángulo de 45^o

Consideramos un triángulo rectángulo e isósceles, es decir, con sus dos catetos de la misma longitud.

Los ángulos A y C son iguales y miden 45^o.

Por tratarse de un triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras:

Según la definición de las razones trigonométricas, deducimos los siguientes resultados:

Razones trigonométricas del ángulo de 60^o

Consideramos un triángulo equilátero (sus tres lados son iguales y sus tres ángulos miden 60⁰⁾ y trazamos su altura:

La altura divide al triángulo en otros dos que son rectángulos. Consideramos uno de ellos:

Para evitar tener que operar con fracciones, hemos considerado que el lado del triángulo equilátero inicial mide 2 a.

Como este nuevo triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

Aplicando las definiciones de las razones trigonométricas, obtenemos los siguientes resultados:

Razones trigonométricas del ángulo de 30^o

Teniendo en cuenta que los ángulos de 30^o y 60^o son complementarios, no es preciso hacer cálculos para obtener las razones trigonométricas del ángulo de 30^o una vez conocidas las del de 60^o.

Medida de un ángulo

Consideramos un punto O del plano  y un número real positivo r.

Trazamos la circunferencia de centro O y radio r.

Si determinamos dos puntos de la circunferencia, A  y B, tales que la longitud del arco de circunferencia que determinan tenga la misma longitud que el radio de la circunferencia, r, el ángulo de vértice O y cuyos lados pasan por los puntos A y B medirá un radián.

Es decir, si la longitud del arco AB es r entonces el ángulo AOB mide un radián.

Si consideramos el ángulo completo (el que corresponde a una vuelta completa a la circunferencia), su arco correspondiente tendrá una longitud igual a la de la circunferencia, es decir, 2 π r.

Así, la longitud de la circunferencia completa contiene 2 π veces la longitud r. Por tanto, el ángulo completo mide 2 π radianes.

Se deduce de ello que 2 π radianes es lo mismo que 360^o y, de esta forma, queda establecida la equivalencia entre dos formas de medir un ángulo (en radianes y en grados sexagesimales).

Esta equivalencia queda de la forma siguiente en los ángulos notables:

2 π radianes = 360^o                 π radianes = 180^o                 (π / 2) radianes = 90^o

(3 π / 2) radianes = 270^o                (π / 3) radianes = 60^o

 (π / 4) radianes = 45^o                        (π / 6) radianes = 30^o

Para pasar de grados a radianes y viceversa será suficiente aplicar una regla de tres simple.