martes, 3 de abril de 2018

Ejercicios resueltos de límites de funciones (parte I)



Ejercicio 1.

Calcula el siguiente límite:




Solución:

Aplicando la propiedad del límite de un cociente, se tiene que:




Por tanto:





Ejercicio 2.

Calcula el siguiente límite:




Solución:

Aplicando la propiedad del límite de un cociente, se tiene que:




Por tanto:




Para resolver la indeterminación obtenida, debemos factorizar el numerador y el denominador de la función. Para ello resolvemos las ecuaciones que se obtienen al igualar a cero el numerador y el denominador:




Como se obtiene una raíz doble, x = 1, se deduce que el numerador se factoriza de la forma x2 – 2 x + 1 = (x – 1)2.

Por otro lado, la ecuación 3 x – 3 = 0 tiene como solución x = 1, por lo que 3 x – 3 = 3 (x – 1).

Así, podemos deducir que:




Simplificamos dividiendo numerador y denominador por x – 1:





Ejercicio 3.

Calcula el siguiente límite:




Solución:

Aplicando la propiedad del límite de un cociente, se tiene que:




Por tanto:




Para resolver la indeterminación obtenida, podemos extraer factor común en el numerador de la función.


Simplificamos dividiendo numerador y denominador por x:





Ejercicio 4.

Calcula el siguiente límite:




Solución:

Aplicando la propiedad del límite de un cociente, se tiene que:




Por tanto:




Para resolver esta indeterminación calculamos los límites laterales:





Como los límites laterales no coinciden, no existe el límite buscado.


Ejercicio 5.


Calcula el siguiente límite:


Solución:

Aplicando la propiedad del límite de un cociente, se tiene que:


Por tanto:


Para resolver esta indeterminación calculamos los límites laterales:


Como los límites laterales coinciden, deducimos que:



Ejercicio 6.

Calcula el siguiente límite:


Solución:

Aplicando la propiedad del límite de un cociente, se tiene que:


Por tanto:


Para resolver la indeterminación obtenida, debemos factorizar el numerador y el denominador de la función.

Para resolver la indeterminación obtenida, debemos factorizar el numerador y el denominador de la función. Para ello resolvemos las ecuaciones que se obtienen al igualar a cero el numerador y el denominador:


Se obtienen dos soluciones de la ecuación, que son x = 2 y x = - 5, por lo que resulta que podemos factorizar de la forma:

x2 + 3 x – 10 = (x – 2) · (x + 5)

Por otro lado, resolvemos la ecuación siguiente:

x2 – 4 = 0

x2 = 4

Se obtienen dos soluciones de la ecuación, que son x = 2 y x = - 2, y resulta que podemos factorizar de la forma:

x2 – 4 = (x – 2) · ( x + 2)

Utilizando las factorizaciones de numerador y denominador, tenemos que:


Simplificamos, dividiendo numerador y denominador por x – 2:




Ejercicio 7.


Calcula el siguiente límite:


Solución:

Aplicando la propiedad del límite de un cociente, se tiene que:


Por tanto:


Para resolver la indeterminación obtenida, debemos factorizar el numerador y el denominador de la función. Para ello resolvemos las ecuaciones que se obtienen al igualar a cero el numerador y el denominador:

x3 – 2 x2 – 5 x + 6 = 0

Aplicamos la regla de Ruffini:


Así, x = 1 es una raíz del polinomio que aparece en el numerador. Y para obtener las otras dos raíces, resolvemos la ecuación de segundo grado que se obtiene al igualar a cero el cociente resultante de la regla de Ruffini:


Así, las otras dos raíces del numerador son x = 3 y x = - 2.

Por tanto, el numerador de la función se factoriza en la forma siguiente:

x3 – 2 x2 – 5 x + 6 = (x – 1) (x + 2) (x – 3)

Ahora factorizamos el denominador, igualándolo a cero:


Las dos raíces del denominador son x = 3 y x = 2, por lo que se factoriza de la forma siguiente:

x2 – 5 x + 6 = (x – 2) (x – 3)

Ahora ya podemos calcular el límite buscado:



Ejercicio 8.

Calcula el siguiente límite:


Solución:

Aplicando la propiedad del límite de un cociente, se tiene que:


Como en el numerador aparece una diferencia en la que interviene una raíz cuadrada, para resolver la indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del numerador.








Ejercicio 9.


Calcula el siguiente límite:


Solución:

Aplicando la propiedad del límite de una diferencia se tiene que:



Ejercicio 10.

Calcula el siguiente límite:


Solución:


Aplicando la propiedad del límite de un cociente, tenemos que:


Para resolver la indeterminación, extraemos factor común en el numerador y simplificamos:


Para resolver esta nueva indeterminación, calculamos los límites laterales:


Como los límites laterales no coinciden, no existe el límite buscado.


Ejercicio 11.

Calcula el siguiente límite:


Solución:

Aplicando la propiedad del límite de una diferencia, tenemos que:


Para resolver esta indeterminación, efectuamos la diferencia de fracciones en la función:


Para resolver esta nueva indeterminación, resolvemos los límites laterales:


Como no coinciden los límites laterales, no existe el límite buscado.



Ejercicio 12.


Calcula el límite siguiente:


Solución:

Sustituyendo la variable x por ∞ resulta una indeterminación:




Es una indeterminación de la forma ∞/∞, y es un cociente de polinomios, por lo que dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de la variable x que aparece en la función:



Ejercicio 13.

Calcula el límite siguiente:


Solución:

Sustituyendo la variable x por ∞ resulta una indeterminación:


Es una indeterminación de la forma ∞/∞, y es un cociente de polinomios, por lo que dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de la variable x que aparece en la función:



Ejercicio 14.


Calcula el límite siguiente:


Solución:

Sustituyendo la variable x por ∞ resulta una indeterminación:


Es una indeterminación de la forma ∞/∞, y es un cociente de polinomios, por lo que dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de la variable x que aparece en la función:




Ejercicio 15.


Calcula el límite siguiente:



Solución:

Sustituyendo la variable x por ∞ resulta una indeterminación:


Es una indeterminación de la forma ∞/∞, y para resolverla dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de la variable x que aparece en la función:



Ejercicio 16.

Calcula el límite siguiente:


Solución:

Sustituyendo la variable x por ∞ resulta una indeterminación:


Es una indeterminación de la forma ∞/∞, y para resolverla dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de la variable x que aparece en la función:



Ejercicio 17.

Calcula el límite siguiente:


Solución:

Sustituyendo la variable x por ∞ resulta una indeterminación:


Es una indeterminación de la forma ∞/∞, y para resolverla dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de la variable x que aparece en la función:




Ejercicio 18.


Calcula el límite siguiente:


Solución:

Sustituyendo la variable x por ∞ resulta una indeterminación:


Es una indeterminación de la forma ∞/∞, y para resolverla dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de la variable x que aparece en la función:




Ejercicio 19.


Calcula el límite siguiente:


Solución:


Sustituyendo x por obtenemos una indeterminación:


Para resolver la indeterminación, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada de la función:



Ejercicio 20.

Calcula el límite siguiente:


Solución:

Al sustituir x por , se obtiene una indeterminación:


Para resolver la indeterminación, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada de la función:


Para resolver esta nueva indeterminación, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de x que aparece en la función:



Ejercicio 21.

Calcula el límite siguiente:


Solución:


Sustituyendo x por 4 obtenemos una indeterminación:


Como el numerador es una diferencia en la que interviene una raíz cuadrada, multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del numerador:











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