Ejercicio 1.
Dados
los números complejos z1 = a + 8 i
y z2 = 3 - b i, halla los valores de a y b para que se cumpla z1
= z2.
Solución:
z1
= z2 si ambos números tienen iguales sus partes reales y sus partes
imaginarias.
Por
tanto, a = 3 y b = - 8.
Ejercicio 2.
Resuelve
las siguientes ecuaciones indicando a qué conjunto numérico pertenecen sus
soluciones:
a) x2
+ 121 = 0 b) x2 + x = - 1
Solución:
a)Si
x2 + 121 = 0, despejando,
obtenemos que x2 = - 121 y, de esta forma:
Las
soluciones son x1 = 11 i y x2
= - 11 i, que son números complejos imaginarios puros.
b)Si
x2 + x = - 1, reordenando sus términos, obtenemos que x2
+ x + 1 = 0.
Resolvemos
la ecuación de segundo grado con la fórmula:
Por
tanto, las soluciones son:
Ejercicio 3.
Dados z1 =
a + 3 i y z2 = 4 + b i, se
pide:
a) Hallar a para que z1 sea imaginario puro.
b) Hallar a y b para que z1 = z2.
c) Hallar b para que z2 sea un
imaginario puro.
d) Hallar b para que z2 sea un número real.
Solución:
a)
Para que z1 sea imaginario
puro su parte real ha de ser nula y, por tanto, debe ser a = 0.
b)
Para que z1 = z2
ambos números deben tener iguales sus partes real e imaginaria. Así, debe ser a
= 4 y b = 3.
c)
Para que z2 sea imaginario
puro su parte real ha de ser nula y, por tanto, para ningún valor de b podrá
serlo.
d)
Para que z2 sea real su parte
imaginaria ha de ser nula y, por tanto, debe ser b = 0.
Ejercicio 4.
Halla
los afijos de los siguientes números complejos:
z1
= 3 – 7 i z2 = 3 + 2i z3
= - 5 z4 = 14
Solución:
Sus
afijos serán: z1 = (3, - 7), z2 = (3, 2) , z3
= (- 5, 0) y z4 = (0, 14)
Ejercicio 5.
Dados
los complejos z1 = 2 – 3 i y
z2 = 7 + 6 i, halla:
a)
Sus opuestos.
b)
Sus conjugados.
c)
Sus afijos.
Solución:
a)
Sus opuestos son – z1 = - 2 + 3 i
y – z2 = - 7 – 6 i.
b)
Sus conjugados son:
c)
Sus afijos son P1 (2, - 3) y P2 (7, 6).
Ejercicio 6.
Dados
z1 = a + 3 i y z2
= 4 + b i:
a)
Calcula a, y b para que el conjugado de z2 sea el opuesto de z1.
b)
Calcula a y b para que el opuesto de z2 sea el conjugado del opuesto
de z1.
Solución:
a)
Para que el conjugado de z2 sea el opuesto de z1 ha de
cumplirse la relación siguiente:
4
– b i = - a – 3 i
Es
decir, que a = - 4 y b = 3.
b)
Para que el opuesto de z2 sea el conjugado del opuesto de z1,
la relación que se debe cumplir es la siguiente:
-4 – b i = - a + 3 i
Es
decir, que a = 4 y b = - 3.
Ejercicio 7.
Dados los complejos
siguientes, indica cuáles son imaginarios puros y cuales son reales, y
represéntalos gráficamente:
a) 4 i
b) – 3 + 2 i c) 2 + 0 i d) – 5 i
Solución:
Son imaginarios puros
los números a) y d).
Es real el número c).
Sus representaciones
gráficas son:
Ejercicio
8.
Escribe en forma binómica los complejos cuyos
afijos son los siguientes:
P1 = (0, - 3) P2 = (- 1, 5) P3 = (6, 0) P4 = (- 2, - 8)
Solución:
Los números complejos en forma binómica son:
z1 = - 3 i z2 = - 1 + 5 i z3 = 6 z4 = - 2 - 8 i
Ejercicio
9.
Dado
z = 3 (cos 45º + i sen 45º), exprésalo en forma polar y binómica.
Solución:
Forma
polar: 345º
Forma
binómica: a + b i, donde
Ejercicio
10.
Dados z1 =
3 + (a – 2) i y z2 = (b + 1) + 2i, halla:
a)
El valor
de a para que z1 sea un número real.
b)
El valor
de b para que z2 sea un número imaginario puro.
c) Los valores de a y b para que z1 +
z2 sea el opuesto de z1.
Solución:
a)z1 = 3 +
(a – 2) i es real si a – 2 = 0. Es decir, a = 2.
b)z2
= (b + 1) + 2i es imaginario puro si b + 1 = 0. Por tanto, b = -1.
c) z1 + z2 =
[ 3 + (a – 2) i ] + [
(b + 1) + 2 i ]
= (3 + b + 1) + (a – 2 + 2) i = (4 + b)
+ a i
De
esta forma, z1 + z2 = - z1 si se cumple que (4 + b) + a i = - 3 – (a – 2) i.
Pero 4 + b = - 3 y a = -a + 2 si b = - 7 y 2 a = 2.
En conclusión, a =
1 y b = - 7.
Ejercicio
11.
Expresa en forma polar y trigonométrica el siguiente número:
Solución:
Calculemos su módulo:
Hallamos ahora su argumento:
De esta forma, su expresión en forma polar es z = 16 60o
y su expresión en forma trigonométrica es z = 16 · (cos 60º
+ i sen 60º).
Ejercicio
12.
Si
z1 = 2 a + b i y z2
= a2 + 2 b i, calcula los valores de a y b para que se cumpla la
igualdad z1 + z2 = 2 z2 – z1 + 4.
Solución:
Resolvemos
la ecuación de segundo grado obtenida:
Por tanto, la
igualdad mencionada es cierta si a = 2 y b toma cualquier valor real.
Ejercicio
13.
Dados
z1 = 2 – 3i, z2 = 3 + 5i y z3 = -6 – i,
calcula:
Solución:
Ejercicio 14.
Si
z1 = 4 – 2 i y z2 = -3 + 7 i, calcula el inverso de z1
· z2.
Solución:
z1 · z2 = (4 – 2 i) · (- 3 + 7 i) = - 12 + 28 i +
6 i – 14 i2 =
=
- 12 + 34 i + 14 = 2 + 34 i
El
inverso de z1 · z2 es, por tanto:
Ejercicio 15.
Efectúa
la potencia (2 – i)4.
Solución:
(2 – i) 4 = (2 – i) 2 · (2 – i) 2
= (4 – 4 i + i 2) · (4 – 4 i + i 2) =
= (3 – 4 i) · (3 – 4 i) = 9 – 24 i + 16 i2
= - 7 – 24 i
Ejercicio 16.
Sean z1 = - 4, z2 = 570o
y z3 = 320o .Calcula el
siguiente cociente y expresa el resultado en forma binómica.
Solución:
Ejercicio 17.
El
número 10120o es
producto de otros dos números complejos, uno de ellos de módulo 2 y el otro de
argumento doble que el anterior. ¿De qué números se trata?
Solución:
Llamamos
z1 y z2 a los números buscados, se tiene que:
z1
· z2 = 10120o
Según
los datos indicados, se tiene que z1 = 2j y z2 = r2j.
Por
tanto: 10120o = 2j · r2j = (2 r)3j
Así,
120º = 3 j
, de donde j = 40º, y 10 =
2 r, por lo que r = 5.
De
esta forma, se obtiene que los números buscados son z1 = 240o
y z2 = 580o.
Ejercicio 18.
Encuentra
las soluciones de la ecuación z5 + 32 = 0.
Solución:
Calculemos
esta raíz:
Se observa que:
Y que los argumentos son:
Por
tanto, las soluciones de la ecuación son:
Ejercicio 19.
Calcula
los valores de a para que:
Solución:
Como
el módulo del cociente de dos números complejos es igual al cociente de sus
módulos, se tiene que:
Ejercicio
20.
Un hexágono regular con centro en el origen de
coordenadas tiene un vértice en el afijo del siguiente número complejo:
Calcula los otros vértices del hexágono.
Solución:
Pasamos a forma polar
el número complejo:
Como
el hexágono tiene su centro en el origen de coordenadas, los vértices de dicho
hexágono son las raíces sextas del número complejo del que es raíz el vértice
dado.
Así,
para obtener los vértices restantes habremos de girar 60º el número complejo dado, lo que es
equivalente a multiplicar por el número z = 1 60º.
Por
tanto, los otros vértices son:
V1
= 2 105 º, V2 = 2 165 º, V3 = 2
225 º, V4 = 2 285 º
y V5 = 2 345 º
felicidad te quedó excelente este post
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