sábado, 20 de febrero de 2016

Ejercicios resueltos de números complejos.


Ejercicio 1.

Dados los números complejos z1 = a + 8 i  y  z2 = 3 -  b i, halla los valores de a y b para que se cumpla  z1 = z2.

Solución:

z1 = z2 si ambos números tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.

Por tanto,  a = 3 y b = - 8.

Ejercicio 2.

Resuelve las siguientes ecuaciones indicando a qué conjunto numérico pertenecen sus soluciones:

a) x2  + 121 = 0         b) x2 + x = - 1

Solución:

a)Si x2  + 121 = 0, despejando, obtenemos que x2 = - 121 y, de esta forma:



Las soluciones son x1 = 11 i  y x2 = - 11 i, que son números complejos imaginarios puros.

b)Si x2 + x = - 1, reordenando sus términos, obtenemos que x2 + x + 1 = 0.

Resolvemos la ecuación de segundo grado con la fórmula:


Por tanto, las soluciones son:


Ejercicio 3.

Dados z1 = a + 3 i  y z2 = 4 + b i, se pide:

a) Hallar a para que zsea imaginario puro.

b) Hallar a y b para que z1  = z2.

c) Hallar b para que z2 sea un imaginario puro.

d) Hallar  b para que  z2 sea un número real.

Solución:

a) Para que zsea imaginario puro su parte real ha de ser nula y, por tanto, debe ser a = 0.

b) Para que z1  = z2 ambos números deben tener iguales sus partes real e imaginaria. Así, debe ser a = 4  y b = 3.

c) Para que zsea imaginario puro su parte real ha de ser nula y, por tanto, para ningún valor de b podrá serlo.

d) Para que zsea real su parte imaginaria ha de ser nula y, por tanto, debe ser b = 0.

Ejercicio 4.

Halla los afijos de los siguientes números complejos:

z1 = 3 – 7 i        z2 = 3 + 2i        z3 = - 5        z4 = 14

Solución:

Sus afijos serán: z1 = (3, - 7), z2 = (3, 2) , z3 = (- 5, 0) y    z4 = (0, 14)

Ejercicio 5.

Dados los complejos z1 = 2 – 3 i  y z2 = 7 + 6 i, halla:

a) Sus opuestos.
b) Sus conjugados.
c) Sus afijos.

Solución:

a) Sus opuestos son – z1 = - 2 + 3 i  y – z2 = - 7 – 6 i.

b) Sus conjugados son:


c) Sus afijos son P1 (2, - 3) y P2 (7, 6).

Ejercicio 6.

Dados z1 = a + 3 i  y z2 = 4 + b i:

a) Calcula a, y b para que el conjugado de z2 sea el opuesto de z1.

b) Calcula a y b para que el opuesto de z2 sea el conjugado del opuesto de z1.

Solución:

a) Para que el conjugado de z2 sea el opuesto de z1 ha de cumplirse la relación siguiente:

4 – b i = - a – 3 i

Es decir, que a = - 4 y b = 3.

b) Para que el opuesto de z2 sea el conjugado del opuesto de z1, la relación que se debe cumplir es la siguiente:

-4 – b i = - a + 3 i

Es decir, que a = 4 y b = - 3.

Ejercicio 7.

Dados los complejos siguientes, indica cuáles son imaginarios puros y cuales son reales, y represéntalos gráficamente:

a)    4 i          b) – 3 + 2 i      c) 2 + 0 i      d) – 5 i

Solución:

Son imaginarios puros los números a) y d).

Es real el número c).

Sus representaciones gráficas son:


Ejercicio 8.

Escribe en forma binómica los complejos cuyos afijos son los siguientes:

P1 = (0, - 3)      P2 = (- 1, 5)      P3 = (6, 0)       P4 = (- 2, - 8)   

Solución:

Los números complejos en forma binómica son:

z1 = - 3 i       z2 = - 1 + 5 i       z3 = 6        z4 = - 2 - 8 i      

Ejercicio 9.

Dado z = 3 (cos 45º + i sen 45º), exprésalo en forma polar y binómica.

Solución:

Forma polar: 345º

Forma binómica: a + b i, donde


Ejercicio 10.

Dados z1 = 3 + (a – 2) i  y  z2 = (b + 1) + 2i, halla:

a)    El valor de a para que z1 sea un número real.


b)    El valor de b para que z2 sea un número imaginario puro.



c)    Los valores de a y b para que z1 + z2 sea el opuesto de z1.

Solución:

a)z1 = 3 + (a – 2) i es real  si  a – 2 = 0. Es decir,  a = 2.


b)z2 = (b + 1) + 2i es imaginario puro si b + 1 = 0. Por tanto, b = -1.


c) z1 + z2 = [ 3 + (a – 2) i ] + [ (b + 1) + 2 i ] = (3 + b + 1) + (a – 2 + 2) i  = (4 + b) + a i

De esta forma, z1 + z2 = - z1 si se cumple que (4 + b) + a i  = - 3 – (a – 2) i.
   
Pero 4 + b = - 3 y a = -a + 2 si b = - 7 y 2 a = 2.

En conclusión,  a = 1 y b = - 7.

Ejercicio 11.

Expresa en forma polar y trigonométrica el siguiente número:


Solución:

Calculemos su módulo:


Hallamos ahora su argumento:


De esta forma, su expresión en forma polar es z = 16 60o   y  su expresión en forma trigonométrica es z = 16 · (cos 60º + i sen 60º).

Ejercicio 12.

Si z1 = 2 a + b i  y z2 = a2 + 2 b i, calcula los valores de a y b para que se cumpla la igualdad z1 + z2 = 2 z2 – z1 + 4.

Solución:


Resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:


Por tanto, la igualdad mencionada es cierta si a = 2 y b toma cualquier valor real.

Ejercicio 13.

Dados z1 = 2 – 3i, z2 = 3 + 5i y z3 = -6 – i, calcula:









Solución:
































Ejercicio 14.

Si z1 = 4 – 2 i y z2 = -3 + 7 i, calcula el inverso de z1 · z2.

Solución:

z1 · z2 = (4 – 2 i) · (- 3 + 7 i) = - 12 + 28 i + 6 i – 14 i2 =

= - 12 + 34 i + 14 = 2 + 34 i

El inverso de z1 · z2 es, por tanto:


Ejercicio 15.

Efectúa la potencia (2 – i)4.

Solución:

(2 – i) 4 = (2 – i) 2 · (2 – i) 2 = (4 – 4 i + i 2) · (4 – 4 i + i 2) =

= (3 – 4 i) · (3 – 4 i) = 9 – 24 i + 16 i2 = - 7 – 24 i

Ejercicio 16.

Sean z1 = - 4, z2 = 570o y z3 = 320o .Calcula  el siguiente cociente y expresa el resultado en forma binómica.

Solución:


Ejercicio 17.

El número 10120o  es producto de otros dos números complejos, uno de ellos de módulo 2 y el otro de argumento doble que el anterior. ¿De qué números se trata?

Solución:

Llamamos z1 y z2 a los números buscados, se tiene que:

z1 · z2 = 10120o

Según los datos indicados, se tiene que z1 = 2j y z2 = r2j.

Por tanto: 10120o = 2j · r2j = (2 r)3j

Así, 120º = 3 j , de donde j = 40º,  y  10 = 2 r, por lo que r = 5.

De esta forma, se obtiene que los números buscados son z1 = 240o y z2 = 580o.

Ejercicio 18.

Encuentra las soluciones de la ecuación z5 + 32 = 0.

Solución:


Calculemos esta raíz:

Se observa que:


Y que los argumentos son:


Por tanto, las soluciones de la ecuación son:


Ejercicio 19.

Calcula los valores de  a para que:


Solución:

Como el módulo del cociente de dos números complejos es igual al cociente de sus módulos, se tiene que:


Ejercicio 20.

Un hexágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene un vértice en el afijo del siguiente número complejo:

Calcula los otros vértices del hexágono.

Solución:

Pasamos a forma polar  el número complejo:


Como el hexágono tiene su centro en el origen de coordenadas, los vértices de dicho hexágono son las raíces sextas del número complejo del que es raíz el vértice dado.

Así, para obtener los vértices restantes habremos de girar  60º el número complejo dado, lo que es equivalente a multiplicar por el número z = 1 60º.

Por tanto, los otros vértices son:

V1 = 2 105 º, V2 = 2 165 º, V3 = 2 225 º, V4 = 2 285 º  y  V5 = 2 345 º

1 comentario: