miércoles, 21 de marzo de 2018

Ejercicios resueltos de la parábola.



Ejercicio 1.

Obtén la ecuación reducida de la parábola 8 y2 – 16 x = 0. Determina las coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de su recta directriz.

Solución:

Dividimos la ecuación dada por 8:


Simplificamos:


y2 – 2 x = 0

De esta forma, deducimos que la ecuación reducida es:

y2 = 2 x

Se observa que 2 p = 2, por lo que se tiene que el parámetro de la parábola es p = 1. Además, por la forma de la ecuación, se ve que el vértice es V (0, 0).

El foco, situado en el eje de abscisas, es el punto:


Y la directriz es la recta vertical de ecuación:



Ejercicio 2.

Obtén la ecuación reducida de la parábola 12 x2 = - 36 y. Determina las coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de su recta directriz.

Solución:

Dividimos la ecuación dada por 12:


Simplificamos y obtenemos la ecuación reducida:

x2 = - 3 y

Se observa que 2 p = 3, por lo que se tiene que el parámetro de la parábola es p = 3/2. Además, por la forma de la ecuación, se ve que el vértice es V (0, 0).

El foco, situado en el eje de ordenadas, es el punto:


Y la directriz es la recta horizontal de ecuación:



Ejercicio 3.

Obtén la ecuación de la parábola cuyo foco es F (0, 7) y cuya recta directriz es y = - 7.

Solución:

El foco está en el eje de ordenadas y la distancia de dicho foco al origen de coordenadas es la misma que la de la recta directriz al origen de coordenadas.

Por tanto, el vértice de la parábola es el C (0, 0) y, al ser la directriz una recta horizontal, se deduce que la ecuación de la parábola es de la forma x2 = 2 p y.

Ya que la distancia entre el foco y la directriz es 14, se tiene que p = 14 y la ecuación buscada es x2 = 28 y.


Ejercicio 4.

Obtén la ecuación de la parábola cuyo foco es F (3, 0) y cuyo vértice es V (7, 0).

Solución:

El foco y el vértice están el eje de abscisas. La distancia entre ellos es 4, de donde p/2 = 4, y p = 8.

De esta forma, la ecuación es de la forma:

(y – 0)2 = 2 p (x – 7)

y2 = 16 (x – 7)


Ejercicio 5.

Obtén la ecuación de la parábola cuyo foco es F (3, 0) y cuyo vértice es V (-7, 0).

Solución:

Ya que la distancia entre el vértice y el foco es 10, sabemos que p/2 = 10, de donde p = 20.

Además, el foco y el vértice se encuentran en el eje de abscisas y el foco está a la derecha del vértice. De esta forma, la ecuación de la parábola es de la forma siguiente:

(y – b)2 = 2 p (x – a), con V(a, b)

Por tanto, la ecuación buscada es:

(y – 0)2 = 40 (x + 7)

y2 = 40 (x + 7)


Ejercicio 6.

Determina la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta y = - 6 y cuyo foco es F (0, 6).

Solución:

Ya que la distancia entre la directriz y el foco es 12, se tiene que     p = 12. Además, el vértice es el punto V (0, 0).

Como la directriz es horizontal y está por debajo del foco, la ecuación de la parábola es de la forma:

x2 = 2 p y

Luego la ecuación buscada es: x2 = 24 y


Ejercicio 7.

Calcula el vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola x2 – 2 x - 6 y = 5.

Solución:

Como en la ecuación aparece x y x2, vamos a completar el cuadrado de un binomio en el que aparezca x:

Al aparecer – 2 x, se trata de (x – 1)2 y para completarlo en la ecuación faltaría 12. Así pues, sumamos 1 y, para que la ecuación no cambie, restamos 1.

(x2 – 2 x + 1) – 1 - 6 y = 5

(x – 1)2 – 1 - 6 y = 5

(x – 1)2 = 5 + 1 + 6y

(x – 1)2 = 6 + 6y

(x – 1)2 =  6 (y + 1)

Por tanto, el vértice es el punto V (1, - 1).

Como 2 p = 6, resulta que p = 3 y p/2 = 3/2.


De esta forma, la directriz es la recta horizontal cuya ecuación es:



Y el foco es el punto cuyas coordenadas son:





Ejercicio 8.

Halla la ecuación de la parábola de directriz x = 4 y cuyo foco es el punto F (- 2, 0).

Solución:

La distancia entre la directriz y el foco es 6, por lo que se tiene que   p = 6 y p/2 = 3. Como la directriz es vertical, el eje de simetría es horizontal y, como la directriz está a la derecha del foco, el vértice es el punto cuyas coordenadas son:

V (- 2 + 3, 0) = V (1,0)

De esta forma, la ecuación de la parábola es de la forma siguiente:

(y – b)2 = - 2 p (x – a), con V(a, b)

(y – 0)2 = - 12 (x – 1)

y2 = - 12 (x – 1)



Ejercicio 9.

Halla la ecuación de las siguientes parábolas:

a)Vértice V (0, 0), directriz horizontal y la parábola pasa por el punto de coordenadas(5, - 4).

b)Vértice V (0, 0), directriz vertical y la parábola pasa por el punto de coordenadas(- 2, 4).

Solución:



a)Al ser la directriz horizontal y el vértice V (0, 0), la ecuación de la parábola es de la forma x2 = 2 p y o de la forma x2 = - 2 p y.

Como la parábola pasa por el punto (5, - 4),que queda por debajo del eje de abscisas, resulta que la ecuación es de la forma x2 = - 2 p y.

Al cumplir dicho punto la ecuación de la parábola se cumple que:

25 = - 2 p (- 4)

25 = 8 p

P = 25/8

Luego la ecuación de la parábola es:

x2 = - 2 (25/8) y

x2 = - (25/4) y

b)Al ser la directriz vertical y el vértice V (0, 0), la ecuación de la parábola es de la forma y2 = 2 p x o de la forma y2 = - 2 p x.

Como la parábola pasa por el punto (- 2, 4),que queda a la izquierda del eje de ordenadas, la ecuación es de la forma y2 = - 2 p x.

Al cumplir dicho punto la ecuación de la parábola se cumple que:

16 = - 2 p (- 2)

16 = 4 p

P = 4

Luego la ecuación de la parábola es:

y2 = - 2 · 4 y

y2 = - 8 y


Ejercicio 10.

Dada la ecuación x2 + 6 x + k y = 0, ¿para qué valor de k corresponde a una parábola cuyo vértice pertenece a la recta y = 6?

Solución:

Hacemos el ajuste de cuadrados ya que aparecen x y x2 en la ecuación:

x2 + 6 x + 9 – 9 + k y = 0

(x + 3)2 = 9 – k y

(x + 3)2 = - (k y – 9)

(x + 3)2 = - k (y – 9/k)

Si el vértice pertenece a la recta y = 6 debe cumplirse que 9/k = 6. Luego:

9/k =6

6 k = 9

K = 9/6 = 3/2

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