Ejercicios resueltos de la elipse.

Ejercicio 1.

Calcula el centro, los focos y la excentricidad de las siguientes elipses:

a) Se observa que el centro es C (0, 0). Además, a² = 81 y b² = 16. Por tanto, a = 9 y b = 4.

Como debe cumplirse que a² = b² + c², podemos despejar el valor de la semidistancia focal:

De esta forma, los focos son:

La excentricidad es:

b) Dividimos por 20 los dos miembros de la ecuación para obtener la ecuación reducida de la elipse:

Se observa que el centro es C (0, 0). Además, a² = 10 y b² = 2.

Como debe cumplirse que a² = b² + c², podemos despejar el valor de la semidistancia focal:

De esta forma, los focos son:

La excentricidad es:

Ejercicio 2.

Calcula el centro, los ejes y los focos de la siguiente elipse:

Solución:

Se observa que el centro es C (- 1, 2). Además, a² = 25 y b² = 16. Por ello, a = 5 y b = 4, de forma que el eje mayor es 2 a = 10 y el eje menor es 2 b = 8.

Como debe cumplirse que a² = b² + c², podemos despejar el valor de la semidistancia focal:

De esta forma, los focos son:

F (- 1 + 3, 2)   y   F´(- 1 - 3, 2)

 F (2, 2)   y   F´(- 4, 2)

Ejercicio 3.

Determina la ecuación de la elipse de foco F (8, 3), de vértice V (10, 3) y de centro C (5, 3).

Solución:

Calculamos el semieje mayor a como la longitud del segmento cuyos extremos son el centro y el vértice:

a = 10 – 5 = 5

Calculamos la semidistancia focal c como la longitud del segmento cuyos extremos son el centro y el foco:

c = 8 – 5 = 3

Para calcular el semieje menor utilizamos el hecho de que siempre se cumple a² = b² + c².

5² = b² + 3²

b² = 25 – 9

b² = 16

Por tanto, tenemos que b = 4.

La ecuación de la elipse es:

De esta forma, la ecuación de la elipse que buscamos es:

Ejercicio 4.

Calcula el centro, los focos y los vértices de la elipse siguiente:

Solución:

El centro es el punto C (1, - 2).

Como a² = 4 y b² = 2, tenemos que:

Además:

Los focos son:

Los vértices son:

Ejercicio 5.

Calcula el centro, los ejes, los vértices, los focos y la excentricidad de las siguientes elipses:

a) 4 x² + 6 y² = 60         b) 25 x² + 16 y² = 400

Solución:

a) Dividimos los dos miembros de la ecuación por 60 para encontrar la ecuación reducida:

El centro es C (0, 0) y los focos se encuentran en el eje de abscisas.

Se cumple que a² = 15 y b² = 10. Entonces podemos obtener el valor de c²:

a² = b² + c²

15 = 10 + c²

c² = 5

Por tanto, deducimos lo siguiente:

El eje mayor es 2 a y el eje menor es 2 b, es decir:

Los focos son los puntos siguientes:

Y los vértices son los puntos:

Para terminar, el valor de la excentricidad de la elipse es:

b) Dividimos los dos miembros de la ecuación por 400 para encontrar la ecuación reducida:

El centro es C (0, 0) y los focos se encuentran en el eje de ordenadas.

Se cumple que a² = 25 y b² = 16. Entonces podemos obtener el valor de c²:

a² = b² + c²

25 = 16 + c²

c² = 9

Por tanto, deducimos lo siguiente:

a = 5    b = 4    c = 3

El eje mayor es 2a = 10  y el eje menor es 2b = 8.

Los focos son los puntos:

F´(0, - 3)   y   F (0, 3)

Los vértices son los puntos:

A´(0, - 5)   y   A (0, 5)

B´(- 4, 0)   y   B (4, 0)

Y la excentricidad de la elipse es:

Ejercicio 6.

Calcula la ecuación de la elipse de la que se conocen los datos siguientes:

-El centro es C (0, 0)

-Un foco es F (2, 0)

-Un vértice es A (5,0)

Solución:

Como un foco es F (2, 0) y el centro es el origen de coordenadas, se deduce que el otro foco es F´(- 2, 0). Además, la semidistancia focal es c = 2.

Como un vértice es A (5, 0), también sabemos que otro vértice es el punto A´(- 5, 0)y, por tanto, a = 5.

Ya que debe cumplirse que a² = b² + c², podemos calcular el valor de b²:

25 = b² + 4

b² = 21

Como conclusión, la ecuación de la elipse es:

Ejercicio 7.

Calcula la ecuación de la elipse de la que se conocen los datos siguientes:

-El centro es C (0, 0)

-Su eje mayor está sobre el eje de abscisas

-Pasa por los puntos P (4, 3) y Q (6,2)

Solución:

Por las dos primeras condiciones se sabe que la ecuación de la elipse es de la forma:

Como los puntos P y Q deben cumplir esta ecuación, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Quitamos los denominadores multiplicando ambas ecuaciones por a² b²:

16 b² + 9 a² = a² b²

36 b² + 4 a² = a² b²

Se deduce entonces que 16 b² + 9 a² = 36 b² + 4 a².

Simplificando, obtenemos que 5 a² = 20 b². Luego a² = 4 b².

Sustituimos esta expresión en una de las ecuaciones anteriores:

16 b² + 9 a² = a² b²

16 b² + 36 b² = 4 b⁴

52 b² = 4 b⁴

4 b⁴ - 52 b² = 0

4 b² (b² – 13) = 0

Como b² no puede ser igual a cero, resulta que b² = 13.

Además, sabemos que a² = 4 b², por lo que a² = 4 · 13 = 52.

Así, la ecuación buscada de la elipse es:

Ejercicio 8.

Calcula la ecuación de la elipse de la que se conocen los datos siguientes:

-Sus focos son F´(- 1, 4) y F (5, 4)

-Son vértices los puntos A´(- 2, 4) y A (6, 4)

Solución:

Las coordenadas de los focos nos permiten hallar el centro de la elipse (el punto medio del segmento cuyos extremos son los focos):

C (4/2, 8/2)

C (2, 4)

Además, el eje mayor es paralelo al eje de abscisas.

Teniendo en cuenta la distancia entre el centro y cualquiera de los focos, podemos asegurar que c = 3.

Teniendo en cuenta la distancia entre el centro y cualquiera de los vértices conocidos, podemos asegurar que a = 4.

Ya que debe cumplirse que a² = b² + c², podemos calcular el valor de b²:

16 = b² + 9

b² = 7

Así, la ecuación buscada de la elipse es:

Ejercicio 9.

Calcula la ecuación de la elipse de la que se conocen los datos siguientes:

-Sus focos son F´(3, 2) y F (3, 8)

-La longitud de su eje menor es 8.

Solución:

Las coordenadas de los focos nos indican que se encuentran en un eje paralelo al eje de ordenadas, y nos permiten calcular las coordenadas del centro (el punto medio del segmento cuyos extremos son los focos):

C (3, 5)

Por tanto, sabemos que la ecuación será de la forma siguiente:

Como la longitud del eje menor es 8, sabemos que b = 4.

Como la distancia entre los focos es 6, sabemos que c = 3.

De esta forma, tenemos que:

a² = b² + c²

a² = 16 + 9 = 25

Como conclusión, la ecuación buscada es:

Ejercicio 10.

Estudia la posición relativa de la recta 3 x + 2y = 12  y la elipse cuya ecuación es la siguiente:

Solución:

Para calcular los puntos que son comunes a la recta y a la elipse, resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.

Antes de formar dicho sistema, quitamos los denominadores en la ecuación de la elipse, para lo que multiplicamos sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, 48:

3 x² + 4 y² = 48

Así, el sistema que vamos a resolver es:

Despejamos la incógnita y en la primera ecuación:

y = (12 – 3 x)/2

Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:

Simplificamos dividiendo entre 12:

x² – 6 x + 8 = 0

Resolvemos esta ecuación de segundo grado:

Así, x puede tomar dos valores:

x = 4   y   x = 2

Sustituyendo el valor de x = 4 en la recta 3 x + 2 y = 12, se obtiene:

12 + 2 y = 12; 2 y = 0; y = 0

Sustituyendo el valor de x = 2 en la recta 3 x + 2 y = 12, se obtiene:

6 + 2 y = 12; 2 y = 6; y = 3

Por tanto, la recta es secante a la elipse, ya que se cortan en dos puntos cuyas coordenadas son (4, 0) y (2, 3).