miércoles, 2 de mayo de 2018

Ejercicios resueltos de asíntotas de funciones.



Ejercicio 1.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:


Solución:


El dominio de esta función racional es R – {-1, 1}.

Asíntotas verticales:

Calculamos los límites laterales en los puntos que no pertenecen al dominio.


Por tanto, esta función presenta dos asíntotas verticales, que son las rectas x = 1 y x = - 1.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:


(Para calcular los límites anteriores ha sido preciso resolver una indeterminación del tipo ∞/∞).

Así, la función tiene una única asíntota horizontal que es la recta de ecuación y = 1.

Asíntotas oblicuas:

Al tener asíntota horizontal, la función no tiene ninguna asíntota oblicua.


Ejercicio 2.

Halla las asíntotas de la función siguiente:


Solución:

El dominio de la función es R – {2}.

Asíntotas verticales:

Calculamos los límites laterales de la función en el punto x = 2, que no pertenece al dominio:


De esta forma, la función tiene una asíntota vertical que es la recta de ecuación x = 2.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:


De esta forma, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):


Calculamos ahora el valor de n correspondiente:


(Para el cálculo m y n ha sido preciso resolver sendas indeterminaciones de la forma ∞/∞).

Así, la función tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es y = x + 2.

Si calculamos los valores de m y n cuando x tiende a - ∞, se obtienen los mismos valores que en el caso anterior. Por tanto, la función tiene una única asíntota oblicua.


Ejercicio 3.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:


Solución:

El dominio de la función es R – {0}.

Calculamos los límites laterales de la función en el punto x = 0, que no pertenece al dominio:


De esta forma, la función tiene una asíntota vertical que es la recta de ecuación x = 0 (el eje de ordenadas).

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:


De esta forma, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):


Si calculamos el valor de m cuando x tiende a - ∞, se obtiene como resultado -∞.

Por tanto, la función no tiene asíntotas oblicuas.


Ejercicio 4.


Encuentra las asíntotas de la siguiente función:


Solución:

El dominio de la función es R – {3}.

Calculamos los límites laterales de la función en el punto x = 3, que no pertenece al dominio:


De esta forma, la función tiene una asíntota vertical que es la recta de ecuación x = 3.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:


De esta forma, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):


Calculamos ahora el valor de n correspondiente:


(Para el cálculo m y n ha sido preciso resolver sendas indeterminaciones de la forma ∞/∞).

Así, la función tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es y = - x - 3.

Si calculamos los valores de m y n cuando x tiende a - ∞, se obtienen los mismos valores que en el caso anterior. Por tanto, la función tiene una única asíntota oblicua.


Ejercicio 5.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:


Solución:

Asíntotas verticales:

Como el denominador no se anula para ningún valor real de x, el dominio de la función es R y la función es continua en todo el dominio. Así, podemos asegurar que no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:


(Para calcular los límites anteriores ha sido preciso resolver una indeterminación del tipo ∞/∞).

Así, la función tiene una única asíntota horizontal que es la recta de ecuación y = 0 (el eje de abscisas).

Asíntotas oblicuas:

Al tener asíntota horizontal, la función no tiene ninguna asíntota oblicua.


Ejercicio 6.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:


Solución:

Asíntotas verticales:

Como el denominador no se anula para ningún valor real de x, el dominio de la función es R y la función es continua en todo el dominio. Así, podemos asegurar que no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:


(Para calcular los límites anteriores ha sido preciso resolver una indeterminación del tipo ∞/∞).

Así, la función tiene una única asíntota horizontal que es la recta de ecuación y = 1.

Asíntotas oblicuas:

Al tener asíntota horizontal, la función no tiene ninguna asíntota oblicua.


Ejercicio 7.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:


Solución:

El dominio de la función lo formarán aquellos valores de x para los que x2 – 4 > 0. Resolviendo esta inecuación de segundo grado, se deduce que:

Dominio de f(x) = (- ∞, - 2) U (2, +∞).

Asíntotas verticales:

Como la función presenta discontinuidades (de segunda especie) en los puntos x = - 2 y x = 2, calculamos los límites laterales de la función que existen en dichos puntos:


Así, la función tiene dos asíntotas verticales que son las rectas de ecuaciones x = - 2  y  x = 2.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:


Por tanto, la función tiene una asíntota horizontal, que es la recta de ecuación y = 1.


Aplicamos la siguiente propiedad:



Por tanto, tiene una asíntota horizontal en el -∞, que es la recta de ecuación y = -1.

Asíntotas oblicuas:

Al tener asíntotas horizontales, la función no tiene ninguna asíntota oblicua.


Ejercicio 8.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:


Solución:

El dominio de la función lo formarán aquellos valores de x para los que x2 – 1 > 0. Resolviendo esta inecuación de segundo grado, se deduce que:

Dominio de f(x) = (- ∞, - 1) U (1, +∞).

Asíntotas verticales:

Como la función presenta discontinuidades (de segunda especie) en los puntos x = - 1 y x = 1, calculamos los límites laterales de la función que existen en dichos puntos:


Así, la función tiene dos asíntotas verticales que son las rectas de ecuaciones x = - 1  y  x = 1.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:


Aplicamos la siguiente propiedad:



Así, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):


Calculamos ahora el valor de n correspondiente:


De esta forma, la función tiene una asíntota oblicua que es la recta de ecuación y = x (bisectriz del primer cuadrante).

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a - ∞), para lo que aplicamos la siguiente propiedad:



Calculamos ahora el valor de n correspondiente:


Así, la función tiene una asíntota oblicua en - ∞ que es la recta de ecuación y = -x (bisectriz del segundo cuadrante).


Ejercicio 9.


Encuentra las asíntotas de la siguiente función:


Solución:

El dominio de la función lo formarán aquellos valores de x para los que x2 – 4 ≥ 0. Resolviendo esta inecuación de segundo grado, se deduce que:

Dominio de f(x) = (- ∞, - 2] U [2, +∞).

Asíntotas verticales:

Como la función presenta discontinuidades (de segunda especie) en los puntos x = - 2 y x = 2, calculamos los límites laterales de la función que existen en dichos puntos:


Por tanto, la función no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:


Así, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):


Calculamos el valor de n correspondiente:


Por tanto, tiene una asíntota oblicua en + ∞ que es la recta de ecuación y = x (bisectriz del primer cuadrante).

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a - ∞):


Calculamos el valor de n correspondiente:


Por tanto, tiene una asíntota oblicua en - ∞ que es la recta de ecuación y = - x (bisectriz del segundo cuadrante).


Ejercicio 10.

Considera la siguiente función:



a) Calcula las asíntotas de la función.

b) ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto?

Solución:

a) Igualamos a cero el denominador y resolvemos la ecuación obtenida, para hallar los puntos que no pertenecen al dominio:




Las soluciones son x = - 1 y x = 3, y deducimos que el dominio de la función es R – {- 1, 3}.

Asíntotas verticales:

Calculamos los límites laterales en los puntos x = - 1 y x = 3:




De esta forma, la función tiene dos asíntotas verticales, cuyas ecuaciones son x = - 1 y x = 3.

Asíntotas horizontales:


Por tanto, no tiene asíntotas horizontales.


Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):


Calculamos el valor de n correspondiente:



Si calculamos los valores de m y n cuando x tiende a - ∞ se obtienen los mismos valores. Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua que es la recta de ecuación y = x + 2.

b) La función no corta a las asíntotas verticales ya que no está definida en los puntos x = - 1 y x = 3.

Para ver si corta a la asíntota oblicua igualamos las ecuaciones de la función y de dicha asíntota:


Y resolvemos la ecuación obtenida:


Sustituyendo este valor de x en la ecuación de la asíntota, resulta que:


y = - 2/3 + 2 = 4/3

Por tanto, la función y su asíntota oblicua se cortan en el punto cuyas coordenadas son (-2/3, 4/3).


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