Ejercicios resueltos de la hipérbola.

Ejercicio 1.

Calcula los focos, los vértices y la excentricidad de la hipérbola siguiente:

Solución:

Se observa que la hipérbola está centrada en el origen de coordenadas y que los focos están en el eje de ordenadas.

Además, a² = 144 y b² = 25, por lo que se deduce que a = 12 y b = 5.

Como c² = a² + b², se tiene que c² = 144 + 25 = 169. Luego, obtenemos que c = 13.

Como conclusión, los focos son F (0, 13) y F´(0, - 13). Los vértices son A (0, 12) y A´(0, - 12).

Por último, la excentricidad de la hipérbola es:

Ejercicio 2.

Calcula los focos, los vértices y la excentricidad de la hipérbola siguiente:

Solución:

Se observa que el centro de la hipérbola es C (1, 0) y que los focos están en un eje paralelo al eje de abscisas.

Además, a² = 3 y b² = 4, por lo que se deduce que:

Como c² = a² + b², se tiene que c² = 3 + 4 = 7. Luego, obtenemos que:

Como conclusión, los focos son:

Y los vértices son:

Para terminar, la excentricidad de la hipérbola es:

Ejercicio 3.

Calcula los focos, los vértices y la excentricidad de la hipérbola siguiente:

4 x² – 6 y² = 60

Solución:

Dividimos los dos miembros de la ecuación por 60 para obtener la ecuación reducida de la hipérbola:

Se observa que la hipérbola está centrada en el origen de coordenadas y que los focos están en el eje de abscisas.

Además, a² = 15 y b² = 10, por lo que se deduce que:

Como c² = a² + b², se tiene que c² = 15 + 10 = 25. De esta forma, obtenemos que c = 5.

Como conclusión, los focos son F (5, 0) y F´(- 5, 0). Y los vértices son:

Por último, la excentricidad de la hipérbola es:

Ejercicio 4.

Determina la ecuación reducida de la hipérbola cuyos focos son los puntos F (8, 0) y F´(- 8, 0), y en la que A (5, 0) es un vértice.

Solución:

Al observar las coordenadas de los focos se deduce que están en el eje de abscisas y que el centro de la hipérbola es C (0, 0), por lo que la ecuación de esta será de la forma:

La distancia entre los focos es 16 y entonces c = 8.

Además, al ser A (5, 0) uno de sus vértices, se tiene que a = 5.

Al de una hipérbola, ha de cumplirse la condición  c² = a² + b², por lo que:

8² = 5² + b²

64 = 25 + b²

b² = 64 -25 = 39

Como conclusión, la ecuación que buscamos es:

Ejercicio 5.

Dada la cónica cuya ecuación es la siguiente, identifícala y encuentra sus elementos característicos:

y² – 9 x² = 9

Solución:

Dividimos por 9 los dos miembros de la ecuación para obtener su ecuación reducida:

Simplificando, obtenemos que:

Se observa que se trata de una hipérbola cuyo centro es C (0, 0) y cuyos focos están en el eje de ordenadas.

Como a² = 9, obtenemos que a = 3 y entonces, los vértices son los puntos A (0, 3) y A´(0, - 3).

Se observa que b² = 1, lo que nos permite calcular el valor de c:

Por tanto, los focos son los puntos:

La excentricidad de esta hipérbola es:

Ejercicio 6.

Encuentra la ecuación general de la hipérbola cuyo centro es C (0, 0), que pasa por el punto P (8, 14) y sabiendo que uno de sus vértices es el punto A (6, 0).

Solución:

De las coordenadas del vértice se deduce que los focos están en el eje de abscisas y que el semieje real es a = 6.

Por tanto, la ecuación que buscamos es de la forma:

Como la curva pasa por el punto P, este ha de cumplir su ecuación. Luego:

Multiplicamos los dos miembros por 9 b² para quitar denominadores:

16 b² – 1764 = 9 b²

7 b² = 1764

b² = 252

Por tanto, la ecuación reducida de la hipérbola es:

El mínimo común múltiplo de 36 y 252 es 252. Utilizamos esto para quitar los denominadores (multiplicamos por 252 los dos miembros de la ecuación):

7 x² – y² = 252

Y la ecuación general de la hipérbola es:

7 x² – y² – 252 = 0

Ejercicio 7.

Halla la ecuación de una hipérbola de centro el origen de coordenadas, cuyos focos están sobre el eje de abscisas y sabiendo que las distancias de uno de los focos a los vértices son 2 y 10.

Solución:

Con los datos del problema se deduce que la ecuación es de la forma:

De las distancias conocidas, podemos deducir que:

2 a = 10 – 2 = 8

a = 4

c = 4 + 2 = 6

Por tanto, como debe cumplirse que c² = a² + b², resulta que:

6² = 4² + b²

b² = 36 – 16 = 20

Así, la ecuación buscada es:

Ejercicio 8.

Halla la ecuación general de una hipérbola equilátera de centro el origen de coordenadas, sabiendo que la curva pasa por el punto P (8, - 2).

Solución:

Al ser equilátera, su ecuación es de la forma:

El punto P debe cumplir esta ecuación, por lo cual:

Luego la ecuación buscada es:

Si multiplicamos por 60 los dos miembros de la ecuación anterior se tiene que x² – y² = 60, de donde se deduce la ecuación general buscada:

x² – y² – 60 = 0

Ejercicio 9.

Estudia la posición relativa de la recta x + y = 1 y la hipérbola de ecuación x² – 2 y² – 1 = 0.

Solución:

Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la hipérbola:

Para ello, despejamos la incógnita x de la primera ecuación y la sustituimos en la segunda:

(1 – y)² – 2 y² – 1 = 0

1 + y² – 2 y – 2 y² – 1 = 0

-   y² – 2 y = 0

-   y (y + 2) = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones:

y = 0       y = - 2

Si y = 0, entonces x = 1.

Si y = - 2, entonces x = 3.

Por tanto, la recta y la hipérbola son secantes ya que se cortan en los puntos P (1, 0) y Q (3, - 2).