1. Calcula
el valor de m para que al dividir entre x - 2 el polinomio p (x) =
5 x4 + x2 – m x – 4, el resto de la división
sea 8.
Solución:
Por el
teorema del resto sabemos que el resto de dicha división coincide con el valor
numérico del polinomio p (x) en x = 2.
Es decir:
p (2) = 8
Desarrollamos
esta igualdad:
5 · 24
+ 22 – 2 m – 4 = 8
80 + 4 – 2m
– 4 = 8
Resolvemos
la ecuación obtenida:
-
2 m = 8 – 80
-
2 m = - 72
m = 36
2. Calcula
el valor de m para que al dividir entre x + 3 el polinomio p (x) =
- 3 x3 + m x2 – 2 x + 5, el resto de la
división sea 2.
Solución:
Por el
teorema del resto sabemos que el resto de dicha división coincide con el valor
numérico del polinomio p (x) en x = - 3.
Es decir:
p (- 3) = 2
Desarrollamos
esta igualdad:
- 3 · (- 3)3
+ m ·(- 3)2 – 2 · (- 3) + 5 = 2
81 + 9 m +
6 + 5 = 2
Resolvemos
la ecuación obtenida:
9
m = 2 – 92
9
m = - 90
m = - 10
3. Halla
el valor de m para que el polinomio p(x) sea divisible entre x -2, siendo p (x)
= 2 x3 + 3 x2 – m x + 3.
Solución:
Para que p
(x) sea divisible entre x -2, al dividir p (x) entre x - 2 se ha de obtener de
resto cero. Por el teorema del resto sabemos que el resto de dicha división
coincide con el valor numérico del polinomio p (x) en x = 2.
Es decir:
p (2) = 0
Desarrollamos
esta igualdad:
2 · 23
+ 3 · 22 – m · 2 + 3 = 0
16 + 12 – 2
m + 3 = 0
Resolvemos
la ecuación obtenida:
-
2 m = - 31
m = 31 / 2
4. Halla
el valor de m para que el polinomio p(x) sea divisible entre x + 1, siendo p
(x) = m x4 + 2 x3 – x + 6.
Solución:
Para que p
(x) sea divisible entre x + 1, al dividir el polinomio p (x) entre x + 1 se ha de obtener de
resto cero. Por el teorema del resto sabemos que el resto de dicha división
coincide con el valor numérico del polinomio p (x) en x = - 1.
Es decir:
p (- 1) = 0
Desarrollamos
esta igualdad:
m · (- 1)4
+ 2 · (- 1)3 – (- 1) + 6 = 0
m - 2 + 1 +
6 = 0
Resolvemos
la ecuación obtenida:
m + 5 = 0
m = - 5
5.Calcula
los valores de a y b, sabiendo que p (x) = 2 x2 + a x – b es divisible
por x – 3 y por x + 1.
Solución:
Al dividir
p (x) entre x -3 y entre x + 1, el resto de ambas divisiones debe ser cero.
Aplicando el teorema del resto, se deduce que p (3) = 0 y p (- 1) = 0.
Desarrollamos
ambas igualdades:
p (3) = 0
2 · 32 + 3 a – b = 0
18 + 3 a – b = 0
3 a – b = - 18
p (- 1) = 0
2 · (- 1)2 + (- 1) ·a – b = 0
2 - a – b = 0
- a – b = -
2
a + b = 2
Formamos un
sistema con las dos ecuaciones obtenidas y lo resolvemos:
3
a – b = - 18
a
+ b = 2
Sumando
ambas ecuaciones, se tiene que:
4 a = - 16
a = - 16 /
4 = - 4
Sustituyendo
en la segunda ecuación del sistema este valor de a, se deduce que:
-
4 + b = 2
b
= 2 + 4 = 6
Por
tanto, los valores buscados son a = - 4
y b = 6.
6.Calcula
los valores de a y b, sabiendo que p (x) = 2 x2 + a x – b es divisible
por x – 2 y que al dividirlo entre x – 1 el resto de la división es - 3.
Solución:
Al dividir
p (x) entre x - 2 el resto de la división debe ser cero y al dividirlo entre x –
1 el resto ha de ser - 3. Si aplicamos el teorema del resto, se deduce que p (2)
= 0 y p (1) = - 3.
Desarrollamos
ambas igualdades:
p (2) = 0
2 · 22 + 2 a – b = 0
8 + 2 a – b = 0
2 a – b = - 8
p (1) = - 3
2 · 12
+ a – b = - 3
2 + a – b =
- 3
a – b = - 5
Formamos un
sistema con las dos ecuaciones obtenidas y lo resolvemos:
2
a – b = - 8
a
- b = - 5
Si a la
primera ecuación le restamos la segunda, se tiene que:
a = - 3
Sustituyendo
en la segunda ecuación del sistema este valor de a, se deduce que:
-
3 - b = - 5
-
b = - 2
b = 2
Por
tanto, los valores buscados son a = - 3
y b = 2.
