El conjunto R x R

Hay magnitudes que no quedan definidas con un sólo número, sino que requieren además de otro tipo de información para quedar completamente determinadas.

Estas magnitudes denominadas magnitudes vectoriales, como la velocidad, aceleración, etc..., requieren además, de una dirección y un sentido para quedar plenamente definidas.

Ante las necesidades que surgen en el estudio de las magnitudes mencionadas, aparece el concepto de vector.

El conjunto R²

El conjunto de los números reales lo representamos gráficamente por una recta, la recta real, en la cual cada punto representa a un único número real y viceversa.

Si hacemos el producto cartesiano R x R, obtenemos:

 R² = R x R= {(a, b) / a, b ÎR}

Los puntos de ² los designamos por letras mayúsculas A, B, C, ... y como vemos, por la definición de  R² dada, son pares ordenados de números reales.

Dado el punto A (a, b) de R² llamamos:

·      1ª coordenada o componente del punto A al valor a

·      2ª coordenada o componente al valor b.

Diremos que dos puntos A (a, b) y B (c, d) son iguales, si sus componentes son iguales  y están  en el mismo orden, es decir:

  (a, b) = (c, d)  Û a = b  y c = d

Ejemplo:

Vamos a calcular el valor que deben de tomar  x e y para que los puntos  A (1, x) y  B (y, - 5) sean iguales.

Para que los dos pares sean iguales se debe de cumplir que:

(1, x) = (y, - 5)

Así, esos dos puntos serán iguales cuando x = 5  e   y = 1.

Suma en R²

Dados dos pares ordenados (a, b) y (c, d) su suma es otro par ordenado que viene dado por:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Como vemos en la definición, la suma es una operación interna en R², y cumple las siguientes propiedades:

·      asociativa

·      conmutativa

·      elemento neutro, que es el par (0,0)

·     elemento opuesto, ya que dado cualquier elemento(a, b) su elemento opuesto es  (- a, - b).

Con estas propiedades decimos que (R², +) tiene estructura de grupo conmutativo.

Como hemos visto, todo par tiene elemento opuesto y esto nos permite definir la resta en R².

Dados dos pares ordenados (a, b) y (c, d) su diferencia es otro par ordenado que viene dado por:

(a, b) - (c, d) = (a, b) + (- c,- d) = (a - c, b - d)

Producto por un escalar

Dado un par (a, b) y un número real k cualquiera, el producto de k por (a, b) es otro par ordenado que viene dado por:

k · (a, b) = (k·a, k·b)

Veamos algunas propiedades del producto de un número real y un par ordenado

·      Propiedad distributiva del producto de números reales respecto a la suma de pares ordenados:

k · [(a, b) + (c, d)] = k · (a, b) + k · (c, d)

·      Propiedad distributiva de la suma de números reales respecto del producto por un par ordenado:

(k₁ + k₂) (x, y) = k₁ (x, y) + k₂  (x, y)

 ·      Asociativa mixta:

k₁ · [k₂  (x, y)] = (k₁ k₂) (x, y)

·      Existencia de elemento neutro para el producto de un número real por un par ordenado.

1 (x, y) = (1 · x, 1 · y) = (x, y)

Con las propiedades que cumplen los pares en las operaciones definidas, se deduce que (R², +, ·) tiene una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales.

Ejemplo:

Efectúa las operaciones siguientes:

a) 2 · (3, - 1) + (5,2) - 3 · (- 1, 2) =

= 2 · (3, - 1) + (5,2) - 3 · (- 1, 2) =

= (6, -2) + (5, 2) - (- 3, 6) = (14, - 6)

b) 3 · [(1,2) - 2 (- 1, 3)] + 1/3 · (6, 9) =

= 3 · [(1,2) - 2 (- 1, 3)] + 1/3 · (6, 9) =

= 3  [(1,2) -  (- 2, 6)] + (2, 3) =

= 3 (3, - 4) + (2, 3) = (9, - 12) + (2, 3) = (11, - 9)