Ejercicios resueltos de ecuaciones trigonométricas.

Ejercicio 1.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

-   3 sen x + cos² x = 3

Solución:

Como para cualquier x se cumple que sen² x + cos² x = 1, deducimos que cos² x = 1 – sen² x, y sustituimos esta expresión en la ecuación dada:

-   3 sen x + 1 - sen² x = 3

Reordenando los miembros, tenemos que la ecuación dada es equivalente a la siguiente:

sen² x + 3 sen x + 2 = 0

Hacemos el cambio de variable sen x = t:

t² + 3 t + 2 = 0

Resolvemos esta ecuación de segundo grado:

Las soluciones son t = - 1 y t = - 2.

Deshaciendo el cambio de variable, tenemos que sen x = - 1 y sen x = - 2 (esta solución no es válida).

Por tanto, x = arc sen (- 1), de donde se concluye que la solución de la ecuación es x = 270^o + k·360^o

Ejercicio 2.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

sen x – 2 cos 2x = -1/2

Solución:

Utilizamos que cos 2x = cos² x – sen² x, y sustituimos esta expresión en la ecuación dada:

sen x – 2 (cos² x – sen² x) = -1/2

Como para cualquier x se cumple que sen² x + cos² x = 1, deducimos que cos² x = 1 – sen² x, y sustituimos esta expresión en la ecuación anterior:

sen x – 2 (1 – sen² x – sen² x) = -1/2

 sen x – 2 (1 – 2 sen² x) = -1/2

sen x – 2 + 4 sen² x = -1/2

2 sen x – 4 + 8 sen² x = -1

8 sen² x + 2 sen x – 3 = 0

Hacemos el cambio de variable sen x = t:

8 t² + 2 t - 3 = 0

Resolvemos esta ecuación de segundo grado:

Las soluciones son t = 1/2 y t = - 3/4.

Deshaciendo el cambio de variable, tenemos que:

 sen x = 1/2    y    sen x = - 3/4

Por tanto, x = arc sen (1/2) y x = arc sen (- 3/4).

Como consecuencia, las soluciones de la ecuación dada son:

x = 30^o + k· 360^o

x = 150^o + k· 360^o

x = - 48,66^o + k· 360^o

x = 228,66^o + k· 360^o

Ejercicio 3.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

sen x · cos x = 1/2

Solución:

Multiplicando los dos miembros de la ecuación por 2, tenemos que:

2 · sen x · cos x = 1

Utilizamos que sen 2x = 2 sen x · cos x:

sen 2x = 1

Por tanto:

2 x = arc sen 1 = 90^o + K · 360^o

Dividiendo por 2, deducimos que la solución de la ecuación dada es:

x = 45^o + k · 180^o

Ejercicio 4.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

sen 2x = cos x

Solución:

Utilizamos que sen 2x = 2 sen x · cos x:

2 sen x · cos x = cos x

2 sen x · cos x - cos x = 0

Extraemos factor común:

cos x (2 sen x – 1) = 0

Si el producto de dos números reales es igual a cero, es porque al menos uno de ellos es cero. Por tanto:

cos x = 0 ó 2 sen x – 1 = 0

Si cos x = 0, x = arc cos 0 = 90^o + k · 180^o

Si 2 sen x – 1 = 0, se obtiene que sen x = 1/2 y, por tanto,  se deduce que x = arc sen (1/2). Luego:

x = 30^o + k· 360^o

x = 150^o + k· 360^o

Así, las soluciones de la ecuación dada son:

x = 90^o + k · 180^o

x = 30^o + k · 360^o

x = 150^o + k · 360^o

Ejercicio 5.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

cos² x – 3 sen² x = 0

Solución:

Como para cualquier x se cumple que sen² x + cos² x = 1, deducimos que cos² x = 1 – sen² x, y sustituimos esta expresión en la ecuación.

1 – sen² x – 3 sen² x = 0

1 – 4 sen² x = 0

sen² x = 1/4

Así, calculando la raíz cuadrada se deduce que sen x puede tomar los valores 1/2 y – 1/2. Y,  de esta forma, se obtienen las soluciones de la ecuación:

Si x = arc sen (1/2):

x = 30^o + k · 360^o

x = 150^o + k · 360^o

Si x = arc sen (- 1/2):

x = 210^o + k · 360^o

x = 330^o + k · 360^o

Ejercicio 6.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

sen² x – cos² x = 1/2

Solución:

Como para cualquier x se cumple que sen² x + cos² x = 1, deducimos que cos² x = 1 – sen² x, y sustituimos esta expresión en la ecuación.

sen² x – (1 – sen² x) = 1/2

sen² x – 1 + sen² x = 1/2

2 sen² x = 1 + 1/2

2 sen² x = 3/2

sen² x = 3/4

Extrayendo la raíz cuadrada, deducimos que:

Así, tenemos que:

Luego las soluciones de la ecuación son:

x = 60^o + k · 360^o

x = 120^o + k · 360^o

x = 240^o + k · 360^o

x = 300^o + k · 360^o

Pero estas soluciones las podemos simplificar en las siguientes:

x = 60^o + k · 180^o

x = 120^o + k · 180^o

Ejercicio 7.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

2 cos x = 3 tg x

Solución:

Sustituimos tg x por su expresión en función de sen x y cos x. Así, la ecuación queda de la forma:

2 cos x = 3 sen x / cos x

Multiplicamos los dos miembros por cos x para quitar el denominador:

2 cos² x = 3 sen x

Como para cualquier x se cumple que sen² x + cos² x = 1, deducimos que cos² x = 1 – sen² x, y sustituimos esta expresión en la ecuación anterior.

2 (1 – sen² x) = 3 sen x

2 – 2 sen² x = 3 sen x

Reordenamos términos:

2 sen² x + 3 sen x – 2 = 0

Hacemos el cambio de variable sen x = t y resolvemos la ecuación de segundo grado que se obtiene:

2 t² + 3 t – 2 = 0

Así, las soluciones son t = 1/2 y t = -2.

Deshaciendo el cambio  de variable, tenemos que:

sen x = 1/2  y sen x = - 2 (esta solución no es posible)

Luego x = arc sen 1/2, de donde deducimos que las soluciones de la ecuación son:

x = 30^o + k · 360^o

x = 150^o + k · 360^o