Ejercicio 1.
Encuentra
la ecuación de la circunferencia de radio 6 y cuyo centro es el punto C (2, - 5).
Solución:
La ecuación
de la circunferencia de centro C (a, b) y de radio r es:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Por tanto,
con los datos del ejercicio, tenemos que la ecuación de la circunferencia
buscada es:
(x – 2)2 + (y + 5)2 = 62
(x – 2)2
+ (y + 5)2 = 36
Ejercicio 2.
Encuentra
la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el punto C (1, - 3) y
de radio 4.
Solución:
La ecuación
de la circunferencia de centro C (1, - 3) y de radio 4 es:
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 42
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 16
Efectuamos
los cuadrados de los binomios que aparecen en la ecuación:
x2 – 2 x + 1 + y2 + 6 y + 9 = 16
Reordenamos
los términos de la ecuación anterior:
x2 + y2 – 2 x + 6 y + 1 + 9 – 16 = 0
Y
simplificamos, obteniendo que la ecuación general es:
x2
+ y2 – 2 x + 6 y – 6 = 0
Ejercicio 3.
Halla la
ecuación general de la circunferencia que es tangente al eje de abscisas y cuyo
centro es C (- 4, 7).
Solución:
Como se
observa en el dibujo, para que la circunferencia sea tangente al eje de
abscisas, su radio ha de coincidir con la distancia del centro a dicho eje y,
por tanto, en este caso el radio es 7.
De esta forma, estamos
buscando la ecuación de la circunferencia de centro C (- 4, 7) y radio 7.
(x + 4)2 + (y - 7)2 = 72
(x + 4)2 + (y - 7)2 = 49
Efectuamos
los cuadrados de los binomios que aparecen en la ecuación:
x2 + 8 x + 16 + y2 - 14 y + 49 = 49
Reordenamos
los términos de la ecuación anterior:
x2 + y2 + 8 x - 14 y + 16 + 49 – 49 = 0
Y
simplificamos, obteniendo que la ecuación general es:
x2
+ y2 + 8 x - 14 y + 16 = 0
Ejercicio 4.
Halla la
ecuación general de la circunferencia que es tangente al eje de ordenadas y
cuyo centro es C (- 8, 4).
Solución:
Como se
observa en el dibujo, para que la circunferencia sea tangente al eje de ordenadas,
su radio ha de coincidir con la distancia del centro a dicho eje y, por tanto,
en este caso el radio es 8.
Por tanto, en este caso estamos
buscando la ecuación de la circunferencia de centro C (- 8, 4) y radio 8.
(x + 8)2 + (y - 4)2 = 82
(x + 8)2 + (y - 4)2 = 64
Efectuamos
los cuadrados de los binomios que aparecen en la ecuación:
x2 + 16 x + 64 + y2 - 8 y + 16 = 64
Reordenamos
los términos de la ecuación anterior:
x2 + y2 + 16 x - 8 y + 64 + 16 – 64 = 0
Y
simplificamos, obteniendo que la ecuación general es:
x2
+ y2 + 16 x - 8 y + 16 = 0
Ejercicio 5.
Halla el centro
y el radio de la circunferencia cuya ecuación general es x2 + y2
– 6 x + 2 y – 6 = 0.
Solución:
La ecuación
de la circunferencia de centro C (a, b) y de radio r es:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Calculando los cuadrados de los binomios, reordenando los
términos y simplificando en la ecuación anterior, obtenemos que su ecuación
general es x2 + y2 + A x + B y + C = 0, donde:
A = - 2 a B = - 2 b C = a2 + b2 – r2
Por tanto, en el caso de este ejercicio, tenemos que:
-
6 = - 2 a y 2 =
- 2 b
Deducimos que el centro es el punto C (a, b) = (3, - 1).
Además, se tiene que:
- 6 = 32
+ (- 1)2 – r2
r2
= 32 + (- 1)2 + 6
r2
= 16
Por tanto, el radio de la circunferencia es r = 4.
Ejercicio 6.
Calcula la
ecuación de la circunferencia de radio 6 y cuyo centro es el punto de
intersección de la rectas de ecuaciones:
r : x + y + 1 = 0 y s : x + 3 y
+ 3 = 0
Solución:
En primer
lugar debemos calcular el centro de la circunferencia, sabiendo que es el punto
de intersección de las rectas r y s. Para ello, resolvemos el sistema formado
por las ecuaciones de ambas rectas:
Despejamos x de ambas
ecuaciones e igualamos las expresiones obtenidas:
-
y – 1 = - 3 y – 3
3 y – y = - 3 + 1
2 y = - 2
y = - 1
Sustituyendo
este valor en la primera ecuación del sistema, tenemos que:
x – 1 + 1 = 0
x = 0
Luego el
centro es el punto C (0, - 1).
Como la
ecuación de la circunferencia de centro C (a, b) y de radio r es (x – a)2
+ (y – b)2 = r2, en este caso la ecuación buscada es:
(x – 0)2 + (y + 1)2 = 62
x2
+ (y + 1)2 = 36
Ejercicio 7.
El centro
de una circunferencia es un punto que está en la recta de ecuación 2 x + 5 y = 6.
Además, los puntos A (- 4, 0) y B (0, 0) pertenecen a dicha
circunferencia. Halla la ecuación de ésta.
Solución:
Si el
centro pertenece a la recta dada ha de cumplir su ecuación y, por ello, deducimos
lo siguiente:
Si x = a,
se cumple 2 a + 5 y = 6, de donde despejamos el valor de y:
Por tanto, el centro de
la circunferencia es de la forma:
Así, la
ecuación de la circunferencia buscada es:
Como el punto A (- 4,
0) pertenece a la circunferencia debe cumplir esta ecuación:
Como el punto A (0, 0)
pertenece a la circunferencia debe cumplir esta ecuación:
Resolvemos el sistema
formado por las dos ecuaciones obtenidas a partir de los puntos A y B:
Igualando las dos expresiones de 25 r2, se tiene que:
29 a2
+ 176 a + 436 = 29 a2 – 24 a + 36
176 a + 24
a = 36 – 436
200 a = -
400
a = - 400 /
200 = - 2
Sustituimos este valor de a en la segunda ecuación del sistema
para obtener el valor de r2:
29 · 4 – 24
· (- 2) + 36 = 25 r2
116 + 48 +
36 = 25 r2
200 = 25 r2
r2
= 200 / 25 = 8
Sabiendo que a = - 2 y que r2 = 8, podemos determinar
la ecuación de la circunferencia que buscamos:
Ejercicio 8.
Encuentra
la ecuación general de la circunferencia de radio 9 y que es concéntrica con la
circunferencia x2 + y2 + 6 x + 4 y – 3 =
0.
Solución:
Al ser
concéntricas, la circunferencia que buscamos tiene el mismo centro que la dada.
Vamos a calcular dicho centro.
La ecuación
de la circunferencia de centro C (a, b) y de radio r es:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Calculando los cuadrados de los binomios, reordenando los
términos y simplificando en la ecuación anterior, obtenemos que su ecuación
general es x2 + y2 + A x + B y + C = 0, donde:
A = - 2 a B = - 2 b C = a2 + b2 – r2
Por tanto, en el caso de este ejercicio, tenemos que:
6 = - 2
a y
4 = - 2 b
Deducimos que el centro es el punto C (a, b) = (- 3, - 2).
Por tanto, ya podemos calcular la ecuación que buscamos.
La ecuación
de la circunferencia de centro C (a, b) y de radio r es:
(x + 3)2 + (y + 2)2 = 92
Efectuamos los cuadrados de los binomios y reordenamos los
términos para obtener la ecuación general:
x2
+ 6 x + 9 + y2 + 4 y + 4 = 81
x2
+ y2 + 6 x + 4 y + 9 + 4 – 81 = 0
x2
+ y2 + 6 x + 4 y – 68 = 0
Ejercicio 9.
Halla la
ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (- 4, 6) y que es
tangente a la recta s : 3 x – 4 y + 1 = 0.
Solución:
Por ser
tangente a la recta dada, el radio de la circunferencia coincidirá con la distancia
del centro a dicha recta.
Por tanto,
tenemos que:
Así, ya podemos
calcular la ecuación de la circunferencia que buscamos:
La ecuación
de la circunferencia de centro C (- 4, 6) y de radio 7 es:
(x + 4)2 + (y – 6)2 = 72
(x + 4)2
+ (y – 6)2 = 49
Ejercicio 10.
Determina
la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la bisectriz del primer
cuadrante, que pasa por el punto A (6,7) y cuyo radio es r = 5.
Solución:
Por estar el centro en la bisectriz del primer cuadrante, cuya
ecuación es x = y, sus coordenadas han de ser iguales. Es decir, el centro es
un punto de la forma C (a, a).
Como el punto A (6, 7) pertenece a la circunferencia, la distancia entre este punto y el centro debe coincidir con el radio. De esta forma:
Simplificamos
dividiendo entre 2:
a2 – 13 a + 30 = 0
Y resolvemos esta
ecuación de segundo grado:
Esto nos da dos circunferencias que son soluciones, teniendo en cuenta los dos valores de a:
Si a = 10, el centro es
C (10,10) y la circunferencia tiene la siguiente ecuación:
(x – 10)2 +
(y – 10)2 = 25
Si a = 3, el centro es
C (3,3) y la circunferencia tiene la siguiente ecuación:
(x – 3)2 +
(y – 3)2 = 25
Ejercicio 11.
Halla los
puntos en los que se cortan las circunferencias solución del ejercicio anterior.
Solución:
Consideramos las dos
ecuaciones de las circunferencias mencionadas:
(x – 10)2 + (y – 10)2 = 25
(x – 3)2 + (y – 3)2 = 25
Los puntos en los que
se cortan las circunferencias son las soluciones del sistema formado por sus
ecuaciones.
Obtenemos este sistema con las
ecuaciones generales de ambas circunferencias:
x2 + y2 – 20 x – 20 y + 175 = 0
x2 + y2 – 6 x – 6 y - 7 = 0
A la segunda ecuación
le restamos la primera:
14 x + 14 y – 182 = 0
La simplificamos
dividiendo entre 14:
x + y – 13 = 0
Despejamos x, (x = 13 –
y), y sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación del sistema:
(13 – y)2 + y2 – 6 · (13 – y) – 6 y – 7 =
0
169 – 26 y + y2 + y2 – 78 + 6 y – 6 y – 7 =
0
Simplificamos:
2 y2 – 26 y + 84 = 0
Dividimos entre 2:
y2 – 13 y + 42 = 0
Y resolvemos esta
ecuación de segundo grado:
Así, obtenemos dos
valores para y:
y1 = 7 y2
= 6
Como x = 13 – y,
tendremos dos valores para x:
x1 = 13 – 7 = 6
x2 = 13 – 6 = 7
Por tanto, las
circunferencias se cortan en los puntos siguientes:
A (6, 7) y B (7, 6)
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