Ejercicio de representación gráfica de una función (trigonométrica I)

Haz el estudio local de la función siguiente y represéntala gráficamente:

f(x) = sen (2x)

Solución:

Dominio: la función seno está definida en todos los números reales, por lo que su dominio es R. Además, como el valor del seno de un ángulo varía entre – 1 y 1, sabemos que su imagen será el intervalo [- 1, 1].

Periodicidad: la función sen x es periódica de periodo 2π, por lo que esta función también es periódica y calculamos su periodo:

2 x = 2 π ;    x = π

Luego la función es periódica de periodo π. De esta forma, la podemos estudiar en el intervalo [0, π].

Puntos de corte con los ejes:

Si x = 0, f(0) = 0 y, por tanto, la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0, 0).

Si f(x) = 0, resulta que sen (2 x) = 0. Resolvemos esta ecuación:

2 x = 0 ó  2 x = π

x = 0 ó x = π/2

Por tanto, la gráfica corta al eje de abscisas en los puntos de coordenadas (0, 0) y (π/2, 0).

Regiones de existencia (o intervalos de signo constante):

Teniendo en cuenta los puntos de corte con el eje de abscisas y que, al ser periódica, estudiamos la función en el intervalo [0, π], obtenemos los intervalos siguientes:

 (0, π/2) y (π/2, π)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen:

f(π/4) = sen (π/2) = 1 > 0

f(3π/4) = sen (3π/2)= - 1 < 0

Así, f(x)> 0 en (0, π/2) y f(x)< 0 en (π/2, π).

Simetrías:

f(- x)= sen (- 2 x) = - sen (2 x) = - f(x)

Luego la función presenta simetría impar.

Asíntotas:

La función seno no tiene asíntotas ya que está definida en todo R y, además, es continua y periódica, oscilando su imagen siempre entre – 1 y 1.

Intervalos de monotonía:

f´(x) = 2 cos (2 x)

Resolvemos la ecuación 2 cos (2 x)= 0:

cos (2 x) = 0

2x = π/2 ó  2x = 3π/2

x = π/4 ó x = 3π/4

Así se obtienen los intervalos siguientes:

(0, π/4), (π/4, 3π/4) y (3π/4, π)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen mediante la función derivada:

Por tanto:

La función es estrictamente decreciente en (π/4, 3π/4).

Y es estrictamente creciente en (0, π/4) U (3π/4, π).

Extremos relativos:

Consideramos las soluciones de la ecuación f´(x) = 0.

Son x = π/4 y x = 3π/4.

Hallamos la imagen de estos valores mediante la segunda derivada:

f´´(x) = 2 · 2[- sen (2 x)]= - 4 sen (2 x)

f´´(π/4) = - 4 sen (π/2) = - 4 < 0   

    

f´´(3π/4) = - 4 sen (3 π/2) = 4 > 0

 Por tanto:

(π/4, f(π/4))= (π/4, 1) es máximo relativo

(3π/4, f(3π/4)) = (3π/4, - 1) es mínimo relativo

Intervalos de curvatura:

Resolvemos la ecuación f´´(x) = 0.

- 4 sen (2x)= 0

sen (2x)= 0

2x = 0 ó 2x = π

x = 0 ó x = π/2

Quedan determinados los intervalos (0, π/2) y (π/2, π).

Tomamos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:

f´´(π/4) = - 4 sen (π/2)= - 4 < 0  

f´´(3π/4) = - 4 sen (3π/2)= 4 > 0

Así, f(x) es convexa en el intervalo (0, π/2) y es cóncava en (π/2, π).

Puntos de inflexión:

Consideramos las soluciones de la ecuación f´´(x) = 0.

Son x = 0 y x = π/2.

Sustituimos estos valores de x en f´´´(x):

f´´´(x)= - 4 · 2 cos (2x)= - 8 cos (2x)

f´´´(0)= - 8·1 ≠ 0

f´´´(π/2)= - 8·(- 1)= 8 ≠ 0

Así, los puntos (0, f(0))  y (π/2, f(π/2))  son puntos de inflexión. 

Es decir, los puntos

(0, f(0))= (0, 0)

(π/2, f(π/2))= (π/2, 0)

Con todos los datos obtenidos, ya podemos dibujar la gráfica de la función: