Problema 1.10.

En un club deportivo se va a organizar un torneo de tenis entre socios. El campeonato se celebrará a modo de liga, a doble vuelta; es decir, que cada socio jugará dos partidos con cada uno de los otros socios inscritos en el torneo.

Uno de los organizadores se da cuenta de que se van a disputar 1892 partidos en total.

¿Cuántos socios se han inscrito al campeonato?

Solución:

Ensayamos y resumimos en una tabla el número de partidos que se celebrarían si fuesen dos, tres, cuatro o cinco, los participantes inscritos.

Si fuesen dos, A y B, se celebrarían dos partidos entre ellos.

Si fuesen tres, A, B y C, se celebrarían dos partidos entre A y B, dos entre A y C, y dos entre B y C; es decir, seis partidos.

Si fuesen cuatro, A, B, C y D, se celebrarían dos partidos entre A y B, dos entre A y C, dos entre A y D, dos entre B y C, dos entre B y D y dos entre C y D; es decir, doce partidos.

Si fuesen cinco, A, B, C, D y E, se celebrarían dos partidos entre A y B, dos entre A y C, dos entre A y D, dos entre A y E dos entre B y C, dos entre B y D, dos entre B y E, dos entre C y D, dos entre C y E, y dos entre D y E; es decir, veinte partidos.

Así, la tabla que se obtiene es:

Podemos observar que:

2 = 2·1

6 = 3·2

12 = 4·3

20 = 5·4

De esta forma, se puede generalizar que p = n·(n – 1).

Así, si el número de partidos es 1892, tenemos que:

1892 = n·(n – 1)

n² – n = 1892

n² – n – 1892 = 0

Resolvemos esta ecuación de segundo grado:

Evidentemente, el número de participantes no puede ser negativo y, por ello, la solución válida es n = (1 + 87)/2 = 44.

Luego, serían 44 los socios participantes en el torneo.