Problema 1.2.

Encuentra dos números naturales menores que 30 y tales que la diferencia de sus cuadrados sea 91.

Solución:

Suponemos que x e y son dichos números, y que x es mayor que y. Según el enunciado, ha de cumplirse que:

x² – y² = 91

(x + y)·(x – y) = 91

Las únicas formas de descomponer 91 como producto de dos números son:

91 = 1·91  y 91 = 7·13

-En el primero de estos dos casos, se cumple:

x + y = 91

x – y = 1

Pero, entonces, x = 1 + y, de donde 1 + y + y = 91 y, por tanto, se tiene que y = 45. Lo que no es compatible con el enunciado del problema por ser mayor que 30.

-En el segundo de estos dos casos, se cumple:

x + y = 13

x – y = 7

Aquí se tiene que x = 7 + y. Sustituyendo en la primera igualdad, resulta que:

7 + y + y = 13

2 y = 6

y = 3

Y, entonces, x = 7 + y = 7 + 3 = 10.

Por tanto, ambos números son 10 y 3.