Problema 2.6.

Dos pequeños comerciantes llegan a un almacén. Uno de ellos, que lleva 371 euros, compra tantas chaquetas como puede, todas al mismo precio, y aún le sobran 26 euros.

El otro, que lleva 503 euros, también compra todas las chaquetas que puede, al mismo precio que las anteriores, y todavía le sobran 20 euros.

a) ¿Cuál es el precio de una chaqueta?

b) ¿Cuántas chaquetas ha comprado cada uno de ellos?

Solución:

a) Como al primer comerciante le han sobrado 26 euros después de comprar el máximo de chaquetas que puede adquirir, significa que el precio de una chaqueta ha de ser mayor que 26 euros.

Además, el precio debe ser un divisor común de las cantidades gastadas por los dos comerciantes. Y estas son:

371 – 26 = 345 euros, del primer comerciante

503 – 20 = 483 euros, del segundo

Así, el precio de una chaqueta ha de ser un divisor común de 345 y 483, y tiene que ser mayor de 26.

Si descomponemos en factores primos estas cantidades, tenemos que:

345 = 3·5·23

483 = 3·7·23

Por tanto, el precio de la chaqueta es 3·23 = 69 euros.

b) Si dividimos el dinero que cada uno de ellos llevaba entre 69, obtenemos que:

371 = 5·69 + 26

503 = 7·69 + 20

Se observa, con claridad, que el primer comerciante ha comprado 5 chaquetas y le han sobrado 26 euros, y que el segundo ha comprado 7 chaquetas y le han sobrado 20 euros.