miércoles, 21 de febrero de 2018

Haz de rectas en el plano.

Llamamos haz de rectas en el plano a un conjunto simplemente infinito de rectas.

·      Decimos simplemente infinito porque depende de un solo parámetro, de tal forma que para cada valor del parámetro obtendremos una recta.
·      La gran ventaja de trabajar con la ecuación de un haz de rectas, es que trabajamos con infinitas rectas utilizando una sola ecuación.
  
Veamos los dos tipos de haces de rectas en el plano.


I. Haz de rectas paralelas.
Dada una recta r de pendiente m, el haz de rectas paralelas a r tendrá por ecuación:


y = m·x + n     donde n es un número real

Para cada valor de n se obtiene una recta. Las rectas que componen el haz serán paralelas al tener todas ellas la misma pendiente.



Si la recta r viene dada por su ecuación general, A·x + B·y + C = 0, el haz de rectas paralelas a r tiene por ecuación la siguiente:

A·x + B·y + K = 0   donde K es un número real


II.Haz de rectas que pasan por un punto.

Dado un punto A (a, b), el haz de rectas que pasan por el punto A tiene de ecuación:

y - b = m · (x - a)     donde m es un número real

Evidentemente, para cada valor de m obtenemos una recta distinta.



Cuando el punto A (a, b) es el punto en el que se cortan las rectas r y s, de ecuaciones r: A·x + B·y + C = 0 y s: A’·x + B’·y + C’ = 0, el haz de rectas que pasan por A tiene por ecuación:

a (A·x + B·y + C) + b (A’·x + B’·y + C’) = 0      donde a,bÎR

Si a ¹ 0, podríamos dividir la expresión anterior del haz por dicho valor, quedando esta de la forma siguiente:

 A·x + B·y + C + b‘ (A’·x + B’·y + C’) = 0   donde bÎR

Esta segunda expresión del haz de rectas que pasan por el punto donde se cortan dos rectas r y s, es más sencilla que la dada anteriormente, pues sólo tiene un parámetro. Sin embargo, este haz no incluye a todos las rectas que pasan por dicho punto, ya que la recta s: A’·x + B’·y + C’ = 0 no es una recta de dicho haz, pues al darle valores a b, iremos encontrando rectas distintas del haz, pero nunca conseguiremos la expresión de s.

Ejemplos:

a)Dado el punto Q (3, 1), el haz de rectas que pasan por dicho punto  será el de ecuación:

y - 1 = m · (x - 3)

b) El haz de rectas paralelas a la recta r: 3 x - y - 2 = 0 será el de ecuación:

3x - y + k = 0

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