Llamamos
haz de rectas en el plano a un
conjunto simplemente infinito de rectas.
·
Decimos simplemente
infinito porque depende de un solo parámetro, de tal forma que para cada
valor del parámetro obtendremos una recta.
·
La gran ventaja de trabajar con la ecuación de un
haz de rectas, es que trabajamos con infinitas rectas utilizando una sola
ecuación.
Veamos
los dos tipos de haces de rectas en el plano.
I. Haz de rectas paralelas.
Dada una recta r de pendiente m, el haz de rectas paralelas a r tendrá por
ecuación:
y = m·x + n donde n
es un número real
Para cada valor de n se obtiene una recta. Las
rectas que componen el haz serán paralelas al tener todas ellas la misma
pendiente.
Si la recta r viene dada por su ecuación general,
A·x + B·y + C = 0, el haz de rectas paralelas a r tiene por ecuación la
siguiente:
A·x + B·y + K = 0
donde K es un número real
II.Haz de rectas que pasan por un punto.
Dado un punto A (a, b), el haz de rectas que pasan por el punto A tiene de ecuación:
y - b = m · (x - a)
donde m es un número real
Evidentemente, para cada valor de m obtenemos una
recta distinta.
Cuando el punto A (a, b) es el punto en el que se cortan
las rectas r y s, de ecuaciones r: A·x + B·y + C = 0 y s:
A’·x + B’·y + C’ = 0, el haz de rectas que pasan por A tiene por ecuación:
a (A·x + B·y + C) + b (A’·x + B’·y + C’) = 0 donde a,bÎR
Si a ¹ 0, podríamos
dividir la expresión anterior del haz por dicho valor, quedando esta de la
forma siguiente:
A·x + B·y + C + b‘ (A’·x + B’·y + C’) = 0 donde b‘ÎR
Esta segunda
expresión del haz de rectas que pasan por el punto donde se cortan dos rectas r
y s, es más sencilla que la dada anteriormente, pues sólo tiene un parámetro. Sin
embargo, este haz no incluye a todos las rectas que pasan por dicho punto, ya
que la recta s: A’·x + B’·y + C’ = 0 no es una recta de dicho haz, pues al
darle valores a b,
iremos encontrando rectas distintas del haz, pero nunca conseguiremos la
expresión de s.
Ejemplos:
a)Dado
el punto Q (3, 1), el haz de rectas que pasan por dicho punto será el de ecuación:
y - 1
= m · (x - 3)
b) El haz de rectas paralelas a la recta r: 3 x - y
- 2 = 0 será el de ecuación:
3x - y + k = 0
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