Operaciones con complejos en forma binómica

Teniendo en cuenta que i ² = -1, y que el afijo de un número complejo es un par de números reales, es fácil observar que la suma, resta, multiplicación y división de números complejos se basan en las reglas que rigen estas operaciones en los reales.

Suma y diferencia.

Dados dos números complejos z₁ = a + b i  y  z₂ = c + d i, la suma y la diferencia de ambos las realizamos de la forma siguiente:

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d) i

z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d) i

Sumar gráficamente dos números complejos equivale a la suma de los vectores que los representan en el plano complejo:

Ejemplo:

Dados los complejos z₁ = a + 2 i y z₂ = - 4 + d i, vamos a calcular  a y d para que se verifique que z₁  + z₂ = 6 + 7 i.

Realizando la suma tenemos z₁  + z₂ = (a - 4) + (2 + d) i = 6 + 7i, e igualando, obtenemos:

Por tanto, a = 10 y d = 5.

Producto.

Dados dos números complejos z₁ = a + b i  y  z₂ = c + d i, se define el producto de ambos como el número complejo siguiente:

z = z₁ · z₂ = (ac – bd) + (ad + bc) i

Vemos cómo se ha obtenido esta expresión para el producto:

z₁ · z₂ = (a + b i) · (c + d i) = a · (c + d i) + b i · (c + d i) =

= a c + a d i + b c i + b d i² = (a c – b d) + (a d + b c) i

Ejemplo:

Dados z₁ = 3 + 3 i, z₂ = 3 – 2 i  y  z₃ = i, vamos a calcular:

a) z₁ · z₂            b) (z₁ · z₂) · z₃

a) z₁ · z₂ = (3 + 3i) · (3 - 2i) = (9 + 6) + (9 - 6)i = 15 + 3i

b) (z₁ · z₂) · z₃ = (15 + 3i) · i = 15i + 3 i² = - 3 + 15i

División.

Para dividir dos números complejos formamos con ellos una fracción y basta con multiplicar el numerador y el denominador de dicha fracción por el conjugado del denominador. Esto es así porque, al hacerlo, vamos a obtener un denominador que es real y, por tanto, obtendremos un complejo en forma binómica que es el resultado del cociente.

Si los dos números son z₁ = a + b i  y  z₂ = c + d i, dicho cociente quedará de la forma siguiente:

Ejemplo:

Dados z₁ = 3 + 3 i y z₂ = 3 – 2 i  vamos a calcular el cociente z₁ / z₂:

Dado un número complejo z = a + b i, se llama inverso de z al número siguiente:

Potencia.

La potenciación de los números complejos en forma binómica se realiza desarrollando las potencias de (a + b i) y trabajando con las potencias de i.

Vemos cuáles son las potencias de i:

i1 = i	i5 = i	i9 = i
i2 = - 1	i6 = -1	i10 = -1
i3 = - i	i7 = - i	i11 = - i
i4 = 1	i8 = 1	i12 = 1

Como puede observarse, se repiten de cuatro en cuatro al ser  i⁴ = 1. Por tanto, para realizar las potencias de i, nos bastará dividir por 4 y realizar la potencia de i con el resto de la división efectuada.

Ejemplo:

Vamos a calcular i²⁷.

Si dividimos 27 entre 4, obtenemos 6 de cociente y 3 de resto. Por tanto:

i ²⁷ = i ³ = - i