Un
número de dos cifras cumple que el producto de los dígitos que lo forman
coincide con la tercera parte de dicho número.
¿Cuál
es?
Solución:
Sea
ab dicho número.
El
producto de los dígitos a y b, coincide con la tercera parte del número; es
decir, que:
(b + 10a)/3 = a·b
Así:
b
+ 10 a = 3 a· b
b
= 3 a · b – 10 a
b
= a (3 b – 10)
Como
b es un dígito (y a también), para que sea mayor o igual que cero debe
cumplirse que 3b – 10 sea mayor o igual que cero. Y para ello, b tiene que ser
mayor o igual que 4.
Por
tanto, b debe estar comprendido entre 4 y 9.
Vemos
todos los casos, teniendo en cuenta que b = a (3 b – 10):
Si b
= 4, entonces 4 = a·2, de donde a = 2. El número es el 24.
Si b
= 5, entonces 5 = a·5, de donde a = 1. El número es el 15.
Si b
= 6, entonces 6 = a·8, lo que es imposible por ser a entero.
Si b
= 7, entonces 7 = a·11, lo que es imposible por ser a entero.
Si b
= 8, entonces 8 = a·14, lo que es imposible por ser a entero.
Si b
= 9, entonces 6 = a·17, lo que es imposible por ser a entero.
Como
conclusión, existen dos números que cumplen las condiciones dadas y que son
solución del problema. Son los números 24
y 15.
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