Problemas de programación lineal (con solución).

Problema 1. Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y de agua de colonia a partir de tres factores productivos F₁, F₂ y F₃. Las unidades de dichos factores utilizados en la producción de cada tipo de frasco se detallan en la siguiente tabla.

Si el precio de venta de un frasco de perfume es de 60 €, de una de agua de colonia es de 20 €, y la empresa dispone de 240 unidades de F₁, 360 de F₂ y 440 de F₃; calcula el número de frascos de cada tipo que debe de fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

Solución:

La función objetivo que hay que maximizar es:

 f(x, y) = 60 x + 20 y

Y con las restricciones:

Los vértices se encuentran en los puntos siguientes:

 A (0, 110), B (20, 110), C (180, 30) y D (180, 0)

El máximo valor se obtiene en f (180, 30) = 11400, luego el máximo beneficio se consigue haciendo 180 frascos de perfume y 30 de agua de colonia.

Problema 2. Una compañía fabrica y vende dos modelos de mesillas de noche M₁ y M₂. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo M₁ y de 30 minutos para el M₂; y un trabajo de máquina de 20 minutos para M₁ y de 10 minutos para M₂. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes.

Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para M₁ y M₂, respectivamente, ¿cómo hay que planificar la producción de mesillas para obtener el máximo beneficio?

Solución:

La solución óptima es fabricar 210 del modelo M₁ y 60 del modelo M₂ para obtener un beneficio de 3 750 €.

Problema 3. Un camionero transporta dos tipos de mercancías, X e Y, ganando 60 y 50 euros por tonelada respectivamente. Al menos debe transportar 8 toneladas de X y como mucho el doble de cantidad que de Y. 

¿A cuánto asciende su ganancia total máxima si dispone de un camión que puede transportar hasta 30 toneladas?

Solución: la ganancia total máxima es de 1700 euros que conseguirá transportando 20 toneladas de X y 10 toneladas de Y.

Problema 4.Con el comienzo del curso se va a lanzar una oferta de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolos de dos formas distintas; en el primer lote pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrá 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada lote serán 6.5 € y 7 €, respectivamente.

 ¿Cuántos lotes de cada tipo es conveniente empaquetar para obtener el máximo beneficio?

Solución:

La solución óptima son 150 lotes del primer tipo y 100 lotes del segundo tipo.

Problema 5. Un agricultor desea plantar 750 cerezos, 700 perales y 650 manzanos. En el vivero Agro ofrecen un lote de 15 cerezos, 30 perales y 10 manzanos por 700 euros y en el vivero Ceres el lote de 15 cerezos, 10 perales y 20 manzanos cuesta 650 euros.

a) Plantea y resuelve un programa lineal para averiguar el número de lotes que ha de comprar en cada vivero para que pueda plantar los árboles que desea y para que el coste total de adquisición sea mínimo.

b) ¿Utiliza el agricultor todos los árboles que ha adquirido?. En caso negativo di cuántos no ha plantado y de qué tipo son.   

Solución: 

a)  El precio es mínimo con 10 lotes de Agro y 40 de Ceres.

b) Utiliza todos los cerezos y todos los perales, pero deja sin utilizar 250 manzanos.

Problema 6. En la elaboración artesana de pastillas de jabón, se dispone de 600 g de un determinado colorante para colorear pastillas grandes y pequeñas. Cada una de las grandes necesita 40 g de dicho colorante y cada una de las pequeñas 30 g. Se quiere elaborar al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €.

¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

Solución:

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

Problema 7. Una peña de aficionados de un equipo de fútbol encarga a una empresa de transportes el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la final de su equipo. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada autobús es de 252 euros y el de cada microbús de 180 euros. 

Sabiendo que la empresa sólo dispone de 28 conductores, se pide:

a) ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el mínimo coste posible?

b) ¿Cuál será el valor de dicho coste mínimo?

Solución: 

a) 24 autobuses y ningún microbús.

b) el coste sería de 6048 euros.

Problema 8. En una fábrica se hacen dos tipos de mesa de jardín: Laguna y Sociedad. Cada mesa Laguna necesita un cuarto de acero por cada Kg. de madera y produce un beneficio de 250 euros, mientras que una mesa Sociedad necesita medio Kg. de acero por cada Kg. de madera y produce 400 euros de beneficio. En la fábrica se pueden elaborar diariamente hasta 150 Kg. de madera y 50 Kg. de acero, aunque por problemas de maquinaria no pueden fabricar mas de 125 mesas de cada tipo.

¿Cuántas mesas de cada tipo deben fabricar al día para que sea máximo el beneficio?

Solución:

Se tienen que fabricar 100 mesas Laguna y 50 mesas Sociedad.

Problema 9. Un colegio prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 chóferes. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. 

Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más barata posible para el colegio.

Solución:

5 autocares de 40 plazas y 4 de 50 plazas.

Problema 10. Se va a organizar una planta de un taller de maquinaria donde van a trabajar diseñadores y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de diseñadores y que el número de mecánicos no supere al doble que el de diseñadores. En total hay disponibles 30 diseñadores y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por diseñador y 200 euros por mecánico.

¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?

Solución:

20 diseñadores y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Se llama inecuación de segundo grado con una incógnita a cualquiera de las desigualdades:

La solución de una inecuación de este tipo depende de las soluciones de la ecuación de segundo grado   a x² + b x + c = 0.

Así, para resolver estas inecuaciones (vamos a estudiar en particular  ax² + b x +c £ 0) podemos distinguir los casos siguientes:

Caso a) La ecuación a x² + b x + c = 0 tiene dos soluciones reales distintas x₁  y  x₂  (supongamos que x₁ > x₂).

En este caso, la inecuación  a x² + b x + c £ 0 , utilizando la factorización del polinomio; se puede expresar de la forma a (x - x₁) (x - x₂) £ 0. 

El producto de los tres factores debe ser negativo o cero y esto sólo ocurre en cada una de las situaciones siguientes:

Al ser x₁ > x₂, la situación 1 no se verifica para ningún valor de x, y la situación 2 la cumplen los valores  x Î [x₂, x₁]. 

Por el mismo motivo, la situación 3 la verifican los valores x Î [x₁,+¥) y la situación 4 los valores  x Î (-¥, x₂].

Así, resumiendo, la solución de la inecuación será:

Si a > 0, todos los x Î [x₂, x₁]

Si a < 0, todos los x Î(-¥, x₂] È [x₁,+¥) 

Ejemplo:

Vamos a resolver la inecuación 2x²-12x+16 £ 0.

Las soluciones de la ecuación 2x² – 12x + 16 = 0 son x₁ = 4 y x₂ = 2, y el coeficiente de x² es a = 2, que es positivo.

Por tanto, la solución de la inecuación la forman todos los  x Î [x₂, x₁] = [2, 4].

Caso b) La ecuación ax² + bx + c = 0 tiene dos soluciones reales iguales.

Aquí, la inecuación  a x² + b x + c £ 0 puede expresarse de la forma a(x - x₁)² £ 0, siendo x₁ la solución de la ecuación mencionada.

Como (x - x₁)² es siempre positivo o cero, la inecuación sólo se verifica para x = x₁ si a > 0 y para todo número real x si a < 0.

En resumen, la solución de la inecuación está formada:

Por todos los números reales cuando a < 0.

Por x = x₁ cuando a > 0.

Ejemplo:

Resolvamos x² + 6x +9 £ 0.

La ecuación x² + 6x + 9 = 0 tiene dos soluciones iguales a x₁ = -3. 

El coeficiente de x² es a = 1, que es positivo y, por tanto, la solución de la inecuación está formada únicamente por el valor x = -3.

Caso c) La ecuación ax² + bx + c = 0 no tiene soluciones reales.

En este caso, ax² + bx +c es positivo para todo valor real de x si a > 0 y es negativo, también para cualquier valor real de x, si a < 0. 

Por tanto, la solución de la inecuación  ax² + b x + c £ 0 será:

El conjunto de todos los números reales si a < 0.

El conjunto vacío si a > 0.

Ejemplo:

Como la ecuación x² + 1 = 0 no tiene soluciones reales y, el coeficiente de x² es a = 1 (siendo el coeficiente a > 0), la solución de la inecuación x² + 1 ³ 0 es R y la solución de x² + 1 £ 0 es el conjunto vacío.

Para cualquiera de las otras inecuaciones de segundo grado (con los signos ³ ,> ,<) hay que hacer un estudio similar al efectuado.

Inecuaciones.

Introducción a las inecuaciones.

Inecuaciones lineales con una incógnita.

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Dado un sistema de dos o más inecuaciones lineales con una incógnita, la solución del sistema estará formada por aquellos valores que satisfagan todas las inecuaciones. Por ello, serán valores que estén presentes en las soluciones de todas las inecuaciones.

Es decir, la solución de un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita será la intersección de las soluciones de todas las inecuaciones que lo forman.

Ejemplo:

Vamos a resolver el sistema siguiente:

-     Hallamos la solución de la primera inecuación:

Su solución está formada por todos los x Î (- ¥, 3].

-     Hallamos la solución de la segunda inecuación:

Su solución está formada por todos los x Î (- 2,+¥). 

Como al calcular la intersección de las soluciones obtenemos que:

Resulta, como conclusión, que la solución del sistema dado está formada por todos los valores   x Î (- 2, 3].

Inecuaciones lineales con una incógnita.

Se llama inecuación lineal con una incógnita a una cualquiera de las siguientes desigualdades:

También serán lineales con una incógnita aquellas inecuaciones que sin presentar una de las formas anteriores puedan transformarse en ellas mediante las transformaciones de equivalencia.

Ejemplo:

Sea la inecuación:

Sus dos miembros los multiplicamos por tres: 

Restamos a los dos miembros 3x y simplificamos:

Restamos 18 a los dos miembros: 

Esta inecuación obtenida es lineal con una incógnita y es equivalente a la inecuación inicial la cual, por tanto, lo es también.

Para resolver una inecuación lineal en una incógnita se aplicarán las transformaciones de equivalencia necesarias hasta obtener una inecuación equivalente de una cualquiera de las formas:

La solución de la inecuación está formada por todos los números del intervalo [a,+¥). 

La solución de la inecuación está formada por todos los números del intervalo (-¥, a] .

La solución de la inecuación está formada por todos los números del intervalo (a,+¥).

La solución de la inecuación está formada por todos los números del intervalo (-¥, a).

Si al transformar una inecuación en otra equivalente obtenemos una desigualdad (debido a que en la expresión han desaparecido las incógnitas), dicha inecuación tendrá como solución el conjunto de los números reales si la desigualdad obtenida es cierta y no tendrá solución en caso contrario.

Ejemplo:

Vamos a resolver la siguiente inecuación:

Sumando 6x y restando 8 a los dos miembros de la inecuación, tenemos:

Simplificando se obtiene que:

Y multiplicando por 1/2 los dos miembros, se deduce que:

Así, la solución de la inecuación dada está formada por todos valores x Î (-¥, 3].