P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B - Cuestión B1

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN B

CUESTIÓN B1. Un supermercado necesita, al menos, 80 docenas de huevos de tamaño pequeño, 120 docenas de tamaño mediano y 90 docenas de tamaño grande. Se abastece en dos granjas A y B. La granja A suministra lotes de 4 docenas de huevos pequeños, 12 docenas de huevos medianos y 2 docenas de grandes, y el coste de cada lote es de 6 euros. La granja B proporciona lotes de 2 docenas de huevos pequeños, 2 docenas de medianos y 6 docenas de grandes, con un coste de 4 euros por lote. Además, la granja A puede suministrar, como máximo, 50 lotes y la granja B puede suministrar, como máximo, 60 lotes. Halla el número de lotes que debe comprar a cada granja para satisfacer sus necesidades con el mínimo coste.

Solución:

Llamamos x al número de lotes que compra a la granja A e y al número de lotes que compra a la granja B.

Aplicando los datos del enunciado, obtenemos las siguientes condiciones:

4 x + 2 y ≥ 80

12 x + 2 y ≥ 120

2 x + 6 y ≥ 90

0 ≤ x ≤ 50

0 ≤ y ≤ 60

Y, con estas condiciones, la función coste que debemos minimizar es:

C (x, y) = 6 x + 4 y

Vamos a dibujar el recinto determinado por las cinco condiciones:

Las otras dos condiciones se representan mediante rectas verticales y horizontales (incluyendo los ejes coordenados).

Ya podemos dibujar el recinto:

La región factible es el polígono de vértices A, B, C, D, E y F. En el dibujo se ven fácilmente las coordenadas de algunos de estos vértices:

A (0, 60)       F (50, 60)        D (45, 0)        E (50, 0)

Calculamos las coordenadas de B:

Si a la primera ecuación le restamos la segunda, obtenemos que 8 x = 40, de donde se deduce que x = 5. Y, si sustituimos este valor de x en cualquiera de las ecuaciones del sistema, se obtiene que y = 30.

Por tanto,  B (5, 30).

Calculamos las coordenadas de C:

Si a la primera ecuación le restamos la segunda multiplicada por 2, obtenemos que - 10 y = - 100, de donde se deduce que y = 10. Y sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema se obtiene que x = 15.

Por tanto,  C (15, 10).

Sustituimos en la función coste los seis vértices obtenidos:

C (A) = C (0, 60) = 6 · 0 + 4 · 60 = 240 euros

C (B) = C (5, 30) = 6 · 5 + 4 · 30 = 150 euros

C (C) = C (15, 10) = 6 · 15 + 4 · 10 = 130 euros

C (D) = C (45, 0) = 6 · 45 + 4 · 0 = 270 euros

C (E) = C (50, 0) = 6 · 50 + 4 · 0 = 300 euros

C (F) = C (50, 60) = 6 · 50 + 4 · 60 = 540 euros

En conclusión, el coste mínimo es 130 euros y se consigue comprando 15 lotes a la granja A y 10 lotes a la granja B.