Ejercicio 1.
Obtén la
ecuación reducida de la parábola 8 y2 – 16 x = 0. Determina las
coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de su recta directriz.
Solución:
Dividimos
la ecuación dada por 8:
Simplificamos:
y2 – 2 x = 0
De esta
forma, deducimos que la ecuación reducida es:
y2
= 2 x
Se observa
que 2 p = 2, por lo que se tiene que el parámetro de la parábola es p = 1.
Además, por la forma de la ecuación, se ve que el vértice es V (0, 0).
El foco,
situado en el eje de abscisas, es el punto:
Y la
directriz es la recta vertical de ecuación:
Ejercicio 2.
Obtén la
ecuación reducida de la parábola 12 x2 = - 36 y. Determina las
coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de su recta directriz.
Solución:
Dividimos
la ecuación dada por 12:
Simplificamos
y obtenemos la ecuación reducida:
x2
= - 3 y
Se observa
que 2 p = 3, por lo que se tiene que el parámetro de la parábola es p = 3/2.
Además, por la forma de la ecuación, se ve que el vértice es V (0, 0).
El foco,
situado en el eje de ordenadas, es el punto:
Y la
directriz es la recta horizontal de ecuación:
Ejercicio 3.
Obtén la
ecuación de la parábola cuyo foco es F (0, 7) y cuya recta directriz es y = -
7.
Solución:
El foco
está en el eje de ordenadas y la distancia de dicho foco al origen de
coordenadas es la misma que la de la recta directriz al origen de coordenadas.
Por tanto,
el vértice de la parábola es el C (0, 0) y, al ser la directriz una recta
horizontal, se deduce que la ecuación de la parábola es de la forma x2
= 2 p y.
Ya que la
distancia entre el foco y la directriz es 14, se tiene que p = 14 y la ecuación
buscada es x2 = 28 y.
Ejercicio 4.
Obtén la
ecuación de la parábola cuyo foco es F (3, 0) y cuyo vértice es V (7, 0).
Solución:
El foco y
el vértice están el eje de abscisas. La distancia entre ellos es 4, de donde
p/2 = 4, y p = 8.
De esta
forma, la ecuación es de la forma:
(y – 0)2 = 2 p (x – 7)
y2
= 16 (x – 7)
Ejercicio 5.
Obtén la
ecuación de la parábola cuyo foco es F (3, 0) y cuyo vértice es V (-7, 0).
Solución:
Ya que la
distancia entre el vértice y el foco es 10, sabemos que p/2 = 10, de donde p =
20.
Además, el
foco y el vértice se encuentran en el eje de abscisas y el foco está a la
derecha del vértice. De esta forma, la ecuación de la parábola es de la forma
siguiente:
(y – b)2 = 2 p (x – a), con V(a, b)
Por tanto,
la ecuación buscada es:
(y – 0)2 = 40 (x + 7)
y2
= 40 (x + 7)
Ejercicio
6.
Determina la ecuación de la parábola cuya directriz
es la recta y = - 6 y cuyo foco es F (0, 6).
Solución:
Ya que la distancia entre la directriz y el foco es
12, se tiene que p = 12. Además, el vértice es el punto V (0, 0).
Como la directriz es horizontal y está por debajo
del foco, la ecuación de la parábola es de la forma:
x2 = 2 p y
Luego la ecuación buscada es: x2 = 24 y
Ejercicio
7.
Calcula el vértice, el foco y la ecuación de la
directriz de la parábola x2 – 2 x - 6 y = 5.
Solución:
Como en la ecuación aparece x y x2, vamos
a completar el cuadrado de un binomio en el que aparezca x:
Al aparecer – 2 x, se trata de (x – 1)2 y
para completarlo en la ecuación faltaría 12. Así pues, sumamos 1 y,
para que la ecuación no cambie, restamos 1.
(x2 – 2 x + 1)
– 1 - 6 y = 5
(x – 1)2 – 1 -
6 y = 5
(x – 1)2 = 5 +
1 + 6y
(x – 1)2 = 6 +
6y
(x – 1)2 = 6 (y + 1)
Por tanto, el vértice es el punto V (1, - 1).
Como 2 p = 6, resulta que p = 3 y p/2 = 3/2.
De esta forma, la directriz es la recta horizontal
cuya ecuación es:
Y el foco es el punto cuyas coordenadas son:
Ejercicio 8.
Halla la ecuación de la parábola de directriz x = 4
y cuyo foco es el punto F (- 2, 0).
Solución:
La distancia entre la directriz y el foco es 6, por
lo que se tiene que p = 6 y p/2 = 3. Como la directriz es vertical, el eje de simetría es
horizontal y, como la directriz está a la derecha del foco, el vértice es el
punto cuyas coordenadas son:
V (- 2 + 3, 0) = V (1,0)
De esta
forma, la ecuación de la parábola es de la forma siguiente:
(y – b)2 = - 2 p (x – a), con V(a, b)
(y – 0)2 = - 12 (x – 1)
y2
= - 12 (x – 1)
Ejercicio 9.
Halla la
ecuación de las siguientes parábolas:
a)Vértice V
(0, 0), directriz horizontal y la parábola pasa por el punto de coordenadas(5, - 4).
b)Vértice V
(0, 0), directriz vertical y la parábola pasa por el punto de coordenadas(- 2, 4).
Solución:
a)Al ser la
directriz horizontal y el vértice V (0, 0), la ecuación de la parábola es de la
forma x2 = 2 p y o de la forma x2 = - 2 p y.
Como la
parábola pasa por el punto (5, - 4),que queda por debajo del eje de abscisas,
resulta que la ecuación es de la forma x2 = - 2 p y.
Al cumplir
dicho punto la ecuación de la parábola se cumple que:
25 = - 2 p (- 4)
25 = 8 p
P = 25/8
Luego la
ecuación de la parábola es:
x2 = - 2 (25/8) y
x2
= - (25/4) y
b)Al ser la
directriz vertical y el vértice V (0, 0), la ecuación de la parábola es de la
forma y2 = 2 p x o de la forma y2 = - 2 p x.
Como la
parábola pasa por el punto (- 2, 4),que queda a la izquierda del eje de ordenadas, la ecuación es de la forma y2 = - 2 p x.
Al cumplir
dicho punto la ecuación de la parábola se cumple que:
16 = - 2 p (- 2)
16 = 4 p
P = 4
Luego la
ecuación de la parábola es:
y2 = - 2 · 4 y
y2
= - 8 y
Ejercicio
10.
Dada la ecuación x2 + 6 x + k y = 0,
¿para qué valor de k corresponde a una parábola cuyo vértice pertenece a la
recta y = 6?
Solución:
Hacemos el ajuste de cuadrados ya que aparecen x y x2
en la ecuación:
x2 + 6 x + 9 –
9 + k y = 0
(x + 3)2 = 9 –
k y
(x + 3)2 = - (k
y – 9)
(x + 3)2 = - k
(y – 9/k)
Si el vértice pertenece a la recta y = 6 debe
cumplirse que 9/k = 6. Luego:
9/k =6
6 k = 9
K = 9/6 = 3/2
