Continuidad
de una función.
Una función f(x) es continua en x = x0 si se cumplen
las tres condiciones siguientes:
1. El punto x = x0 pertenece al dominio de la
función; es decir, que existe f (x0).
2. Existe el límite cuando x tiende a x0 de la
función:
3. El valor del límite mencionado coincide con la imagen de x0
mediante la función:
Tipos de
discontinuidades.
Podemos encontrar tres tipos de discontinuidades de una función
f(x) en un punto x0:
1. Discontinuidad evitable: cuando existe el
límite de la función en x0 y es finito pero, o bien x0 no
pertenece al dominio de la función, o bien la imagen f(x0) no
coincide con el valor del límite en dicho punto x0.
2. Discontinuidad de primera especie: pueden distinguirse dos tipos de
discontinuidades de primera especie.
a) Discontinuidad de
salto: cuando existen los límites laterales de f(x) en x0 pero
no coinciden sus valores.
Se llama salto al valor absoluto de la diferencia de los valores
de los límites laterales y, por tanto, la discontinuidad podrá ser de salto
finito o de salto infinito. Será de salto
finito cuando los límites laterales sean ambos finitos, y será de salto infinito cuando al menos uno de
los límites laterales sea infinito.
b) Discontinuidad
infinita: cuando los límites laterales de f(x) en x0 son ambos
infinitos del mismo signo.
3. Discontinuidad de segunda especie: cuando no existe alguno de los
límites laterales de la función en x0.
Operaciones con
funciones continuas.
Si f(x) y g(x) son continuas en un punto x = a, entonces:
1. La función suma de
ambas, (f + g))(x), también es continua en x = a.
2. La función diferencia
de ambas, (f - g))(x), también es continua en el punto x = a.
3. La función producto
de ambas, (f · g))(x), también es continua en el punto x = a.
4. La función cociente
de ambas, (f / g))(x), también es continua en el punto x = a, excepto cuando el
denominador se anula en dicho punto, es decir si g(a) = 0.
Además, si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a),
entonces la composición (g ͦ f)(x)
también es continua en a.
Continuidad en
funciones elementales.
1. Las funciones polinómicas
son continuas en el conjunto de todos los números reales.
2. Las funciones racionales
(cocientes de dos polinómicas) son continuas en el conjunto de todos los
números reales excepto en aquellos en los que se anula el denominador.
3. Las funciones exponenciales,
potenciales y logarítmicas son continuas en todos los puntos de sus dominios de
definición.
4. Dentro de las funciones trigonométricas,
son continuas en el conjunto de todos los números reales las funciones sen(x) y
cos(x). La función tg(x), que se define como el cociente sen(x)/cos(x) es discontinua en todos los
puntos en los que cos(x) = 0, es decir en los valores que son múltiplos impares
de π/2.
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