Haz el estudio local de la función siguiente y represéntala
gráficamente:
Dominio: al
tratarse de una función racional, su dominio es el conjunto de todos los
números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
x – 2 = 0
x = 2
Por tanto, Dom f = R – {2}.
Puntos
de corte con los ejes:
Si x = 0, f(0) = - 1 y, por tanto, la gráfica corta al eje de
ordenadas en el punto (0, - 1).
Si f(x) = 0, resulta que la ecuación obtenida no tiene solución
y, de esta forma, se deduce que la función no corta al eje de abscisas.
Regiones
de existencia (o intervalos de signo constante):
Teniendo que no hay puntos de corte con el eje de abscisas,
obtenemos los intervalos con los puntos que no pertenecen al dominio. Es decir:
(- ∞, 2) y
(2, + ∞)
Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen:
f(0) = - 1
< 0 y f(3) = 2 > 0
Así, f(x)> 0 en (2, + ∞) y f(x)< 0 en (- ∞, 2).
Simetrías:
Así, f(- x)≠ f(x) y f(- x)≠ - f(x), por lo que la función no es
par ni impar.
Asíntotas:
Como el dominio es R – {2},
vemos la existencia de asíntotas verticales:
Por tanto, la recta x = 2 es asíntota vertical de la función.
Estudiamos ahora la existencia de asíntotas horizontales:
Así, la recta y = 0 es asíntota horizontal.
No tiene asíntotas oblicuas ya que tiene asíntota horizontal.
Intervalos
de monotonía:
Si hacemos f´(x)= 0, resulta que la ecuación que se obtiene no
tiene solución y, por tanto, la función no tiene extremos relativos (ni máximos
ni mínimos).
Así se obtienen los intervalos que determinan los valores de x
que no pertenecen al dominio. Es decir:
(- ∞,2) y
(2, +∞)
Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen mediante
la función derivada:
f´(0) = -
1/2 < 0
f´(3) = - 2
< 0
Así, la función es estrictamente decreciente en los dos
intervalos.
Extremos
relativos:
Ya hemos visto en el punto anterior que la función no tiene
máximos ni mínimos relativos.
Intervalos
de curvatura:
Calculamos la segunda derivada de la función:
Si hacemos f´´(x) = 0, resulta una ecuación que no tiene
solución y, de esta forma, se deduce que la función no tiene puntos de
inflexión. Así, los intervalos de curvatura quedan determinados por los valores
de x que no pertenecen al dominio. Es decir:
(-∞, 2) y (2,
+ ∞)
Tomamos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la
segunda derivada:
f´´(0) = - 1/2
< 0 y f´´(3) = 4 > 0
Así, f(x) es convexa en el intervalo (-∞, 2) y es cóncava
en (2, + ∞).
Puntos
de inflexión:
Ya hemos visto en el punto anterior que la función no tiene
puntos de inflexión.
