Ejercicio de representación gráfica de una función (polinómica 1)

Haz el estudio local de la función siguiente y represéntala gráficamente:

f(x) = x³ – 4 x² + 4 x

Solución:

Dominio: al tratarse de una función polinómica, su dominio es el conjunto de todos los números reales, R.

Puntos de corte con los ejes:

Si x = 0, f(0) = 0 y, por tanto, la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0, 0).

Si f(x) = 0, resulta que x³ – 4 x² + 4 x = 0. Resolvemos esta ecuación:

x³ – 4 x² + 4 x = 0

x (x² – 4 x + 4) = 0

x (x – 2)² = 0

Las soluciones son x = 0 y x = 2 (solución doble), por lo que la gráfica corta al eje de abscisas en los puntos de coordenadas (0, 0) y (2, 0).

Regiones de existencia (o intervalos de signo constante):

Teniendo en cuenta los puntos de corte con el eje de abscisas, obtenemos los intervalos siguientes:

(- ∞, 0), (0, 2) y (2, + ∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen:

f(- 1) = - 9 < 0; f(1) = 1 > 0; f(3) = 3 > 0

Así, f(x)> 0 en (0, 2)U(2, + ∞) y f(x)< 0 en (- ∞, 0).

Simetrías:

f(- x)= - x³ – 4 x² - 4 x

Así, f(- x)≠ f(x) y f(- x)≠ - f(x), por lo que la función no es par ni impar.

Asíntotas:

Como el  dominio es R no tiene asíntotas verticales.

Tampoco tiene asíntotas horizontales (y presenta ramas parabólicas) ya que:

Tampoco tiene asíntotas oblicuas pues:

Intervalos de monotonía:

f´(x) = 3 x² – 8 x + 4 = 0

Las soluciones son x = 2 y x = 2/3.

Así se obtienen los intervalos siguientes:

(- ∞,2/3), (2/3, 2) y (2, +∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen mediante la función derivada:

f´(0) = 4 > 0

f´(1) = - 1 < 0

f´(3) = 7 > 0

Por tanto:

La función es estrictamente decreciente en (2/3, 2).

Y es estrictamente creciente en (- ∞,2/3) U (2, +∞).

Extremos relativos:

Consideramos las soluciones de la ecuación f´(x) = 0.

Son x = 2 y x = 2/3.

Hallamos la imagen de estos valores mediante la segunda derivada:

f´´(x) = 6 x – 8

f´´(2) = 4 > 0     y     f´´(2/3) = - 4 < 0

Por tanto:

(2, f(2)) = (2, 0) es mínimo relativo

(2/3, f(2/3)) = (2/3, 32/27) es máximo relativo

Intervalos de curvatura:

Resolvemos la ecuación f´´(x) = 0.

6 x – 8 = 0

x = 4/3

Quedan determinados los intervalos (-∞, 4/3) y (4/3, + ∞).

Tomamos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:

f´´(1) = - 2 < 0   y   f´´(2) = 4 > 0

Por tanto, f(x) es convexa en el intervalo (-∞, 4/3) y es cóncava en (4/3, + ∞).

Puntos de inflexión:

Consideramos la solución de la ecuación f´´(x) = 0.

Es x = 4/3.

Sustituimos este valor de x en f´´´(x):

f´´´(x)= 6

f´´´(4/3)= 6 ≠ 0

Por tanto, el punto (4/3, f(4/3)) es un punto de inflexión.

f(4/3) = (4/3)³ – 4 (4/3)² + 4 (4/3)=

= 64/27 – 64/9 + 16/3 = (64 – 192 + 144)/27 = 16/27

Es decir, el punto de inflexión es (4/3, 16/27).

Con todos los datos obtenidos, ya podemos dibujar la gráfica de la función: