Forma polar y forma trigonométrica de un número complejo

El vector que representa gráficamente a un complejo z = a + b i tiene una longitud y forma un ángulo con el semieje real.

Se llama módulo de z = a + b i al módulo del vector que lo representa y se calcula mediante la expresión siguiente:

Este módulo es la longitud del vector que representa gráficamente a dicho número.

Se llama argumento de z = a + b i al ángulo que forma el vector que lo representa con el semieje positivo de abscisas.

No es difícil observar  en la representación gráfica que, para hallar el argumento de un número complejo z = a + b i, sólo es necesario aplicar la definición de la tangente en un triángulo rectángulo: 

Como sabemos que  tg j = tg (j + 360) = tg (j + 720) = . . . deducimos que existen infinitos ángulos que admiten ser argumentos de un número complejo z, aunque sólo uno de ellos estará comprendido entre 0º y 360º.

Ahora bien, al hallar el valor de la tangente para obtener el argumento, sabemos que hay dos ángulos entre 0º y 360º que corresponden a dicha tangente. Para saber qué ángulo es el que corresponde, si representamos el complejo  determinaremos el cuadrante en el que está  y, de esta manera, determinaremos el ángulo que corresponde.

Dado un número complejo de módulo r y argumento φ, se llama forma polar o módulo-argumental de z a la expresión z = r_φ.

Ejemplos:

a) 2_90º  es un número imaginario puro de módulo 2, ya que el vector que lo representa está sobre el eje de ordenadas o eje imaginario.

b) 4_0º  y  6_180º  son n^os reales, pues los vectores que los representan están sobre el eje de abscisas o eje real.

Dado un número complejo de módulo r y argumento φ, se llama forma trigonométrica de z a la expresión siguiente:

z = r (cos φ + i sen φ)

Ejemplo:

 Dado z = 2 - 2 i, expresado en forma binómica, vamos a expresarlo en forma polar y trigonométrica.

Por tanto, tenemos:

-     Forma polar: z = 4₃₀₀

-     Forma trigonométrica: z = 4 (cos 300 + i sen 300)

Dos complejos en forma polar, z₁ = r_φ y z₂ = r´_α, son iguales si se cumple lo siguiente:

r = r´  y  φ = α + 2 k π, siendo k un número entero

Resumamos ahora en una tabla las distintas expresiones de un número complejo y cómo pasamos de una expresión a otra.