Ejercicio
1.
Expresa
en radianes los siguientes ángulos:
45o 30o 270o 120o
Solución:
Como
sabemos que π radianes equivalen a 180o, haciendo una regla de tres
simple y directa, deducimos que:
Ejercicio
2.
Pasa
a grados los siguientes ángulos:
3π/4
radianes 5π/2 radianes 5π/6 radianes
Solución:
Como
sabemos que π radianes equivalen a 180o,simplemente sustituimos π
por este valor y operamos:
3π/4
radianes = 3·180o/4 = 135o
5π/2
radianes = 5·180o/2 = 450o
5π/6
radianes = 5·180o/6 = 150o
Ejercicio
3.
Calcula
el seno y el coseno del ángulo α a partir del triángulo siguiente:
Solución:
Calculamos
la hipotenusa del triángulo utilizando el teorema de Pitágoras:
hipotenusa2
= cateto12 + cateto22
h2
= 82 + 62 = 64 + 36 = 100
Calculando
la raíz cuadrada de los dos miembros en la igualdad h2 = 100, se
deduce que lahipotenusa es h = 10 cm.
Ahora
podemos calcular las razones trigonométricas buscadas:
sen
α = cateto opuesto / hipotenusa = 6 /10 = 0,6
cos
α = cateto contiguo / hipotenusa = 8 /10 = 0,8
Ejercicio
4.
Calcula la tangente del ángulo β a partir
de los datos del siguiente triángulo:
Solución:
Utilizando
el teorema de Pitágoras, calculamos la longitud del cateto opuesto al ángulo β:
Ahora
ya podemos calcular la tangente del ángulo:
Ejercicio
5.
Sabiendo
que sen α = 1/5 y que 90o< α < 180o, calcula el
coseno y la tangente del ángulo α.
Solución:
Utilizamos
la Fórmula Fundamental de la Trigonometría:
(sen α)2 + (cos
α)2 = 1
(1/5)2 + (cos α)2 = 1
(cos
α)2 = 1 - (1/5)2 =
1 – 1/25 = 24/25
Como
α
está en el segundo cuadrante, su coseno tiene signo negativo y, de esta forma,
tenemos que:
Conocidos
el seno y el coseno podemos calcular todas las demás razones trigonométricas.
Ejercicio
6.
Un
ángulo α
se encuentra en el tercer cuadrante. Si tg α = 12/5, calcula su seno y su
coseno.
Solución:
Utilizamos
la relación (sec α)2 = 1 + (tg α)2:
(sec
α)2 = 1 + (12/5)2 = 1 + 144/25 = 25/25 + 144/25 = 169/25
Como
el ángulo está en el tercer cuadrante, su coseno y su secante tienen signo
negativo.
Por tanto:
Como
sec α = 1/cos α, resulta que cos α = - 5/13.
Aplicando
que tg α = sen α / cos α se deduce que:
sen α = tg α · cos α = (12/5 )· (-
5/13) = - 12 / 13
Ejercicio
7.
Si
sen α = - 1/3 y 180o < α
< 270o, calcula el coseno y la tangente del ángulo α.
Solución:
Utilizamos
la Fórmula Fundamental de la Trigonometría:
(sen α)2 +
(cos α)2 = 1
(- 1/3)2 + (cos α)2 = 1
(cos
α)2 = 1 - (- 1/3)2
= 1 – 1/9 = 8/9
Como α está
en el tercer cuadrante, su coseno tiene signo negativo y, de esta forma,
tenemos que:
Conocidos
el seno y el coseno podemos calcular la tangente:
Ejercicio
8.
Si
cotg α = 0,8 y 0o < α < 90o, calcula el seno y el
coseno de α.
Solución:
Utilizamos
la siguiente relación:
(cosec
α)2 = 1 + (cotg α)2
(cosec
α)2 = 1 + (0,8)2 = 1 + (4/5)2 = 1 + 16/25 =
41/25
Al
estar el ángulo en el primer cuadrante, su cosecante es positiva y, por ello,
tenemos que:
Como
cosec α = 1 / sen α, deducimos que sen α = 1 / cosec α y, por tanto:
Utilizamos
que cotg α = cos α / sen α para deducir que cos α = cotg α · sen α y, de esta forma:
Ejercicio
9.
Sabiendo que sec a = 5/4, y que a
pertenece al cuarto cuadrante, calcula las restantes razones trigonométricas de
a.
Solución:
Sabemos
que para cualquier ángulo a
se cumple la Fórmula Fundamental de la Trigonometría:
1 +
tg2 a =
sec2 a
Sustituimos en esta igualdad:
1 +
tg2 a = (5/4)2
= 25/16
Despejamos
tg a:
tg2
α = 25/16 – 1 = 25/16 – 16/16 = 9/16
Como
sec α = 1/cos α, resulta que cos α = 1/sec α = 4/5.
Utilizando
que tg α = sen α/cos α, despejamos sen α = cos α · tg α y, de esta forma,
resulta que sen α = (4/5) · (- 3/4) = - 3/5.
Como
cotg α = 1/tg α, obtenemos que cotg α = 1/(- 3/4) = - 4/3.
Además, cosec α = 1/sen α = 1/(- 3/5) = - 5/3.
Por tanto, las razones de a
son:
sen a
= - 3/5, cos α = 4/5, tg a = - 3/4, cotg
a = - 4/3, sec a = 5/4 y cosec a = - 5/3
Ejercicio
10.
Si a es un ángulo del cuarto cuadrante del
que conocemos que cos a
= 0, 6, calcula las restantes razones trigonométricas.
Solución:
Utilizamos
la Fórmula Fundamental:
sen2
a = 1 – cos2 a = 1 – 0,36 = 0,64
Como
a está en el cuarto cuadrante, resulta
que sen a
= - 0,8.
A
partir de este resultado obtenemos:
cosec
a = - 1/0,8 = - 1,25 sec a = 1/0,6 = 1,66
tg
a = - 0,8/ 0,6 = - 1,33 cotg a = - 0,6/ 0,8 = - 0,75
Ejercicio
11.
Simplifica
la siguiente expresión:
cos3a + cos2 a · sen a + cos a · sen2a + sen3a
Solución:
Sacando
factor común en dos ocasiones, obtenemos:
cos3a + cos2 a · sen a + cos a · sen2a + sen3a =
=cos2
a · (cos a + sen a) + sen2 a · (cos a + sen a) =
=
(cos2 a
+ sen2 a)
· (cos a +
sen a) =
1 · (cos a
+ sen a) =
=
cos a +
sen a
Ejercicio
12.
Utiliza
la circunferencia goniométrica para calcular el seno, el coseno y la tangente
del ángulo α = 135o.
Solución:
Como el ángulo α está en el segundo cuadrante,
el ángulo β = 180o – α está en el primer cuadrante. Consideramos
pues α = 135o y β = 180o – 135o = 45o.
Se
observa que sen 135o = sen 45o y que cos 135o
= - cos 45o; por tanto:
Conocidos
el seno y el coseno, determinamos que:
tg
135o = sen 135o / cos 135o = - 1
Ejercicio
13.
Utiliza
la circunferencia goniométrica para calcular el seno y el coseno del ángulo σ =
210o.
Solución:
Como el ángulo σ está en el tercer
cuadrante, el ángulo α = σ – 180o
está en el primer cuadrante. Consideramos pues σ = 210o y α =
210o - 180o = 30o.
Se
observa que sen σ = - sen α y cos σ = - cos α. Por tanto:
Ejercicio
14.
Desde
un punto del suelo situado a 50 metros del tronco de un árbol se observa el
punto más alto de su copa bajo un ángulo de 30o. ¿Cuál es la altura
del árbol?
Solución:
El
triángulo que corresponde al enunciado del problema es el siguiente:
La
altura del árbol corresponde al cateto opuesto al ángulo α, y el otro dato
conocido corresponde con su cateto contiguo. Por tanto podemos utilizar la
tangente:
Así,
la altura del árbol es 28,83 metros.
Ejercicio
15.
Desde
cierto punto de una plaza vemos la azotea de un edificio bajo un ángulo de 45o
y, si retrocedemos 20 metros alejándonos
del edificio, vemos dicha azotea bajo un ángulo de 30o.
¿Cuál
es la altura del edificio?
Solución:
El
dibujo que corresponde al enunciado del problema es el siguiente:
Utilizando
la definición de la tangente de un ángulo, deducimos que:
Sustituyendo
los valores de las tangentes, obtenemos el siguiente sistema:
Utilizando
la segunda ecuación del sistema se obtiene que x = y.
Sustituyendo
en la primera ecuación, obtenemos que:
Así,
se tiene la ecuación de segundo grado siguiente:
3
x2 + 120 x + 1200 = 9 x2
6
x2 – 120 x – 1200 = 0
x2
– 20 x – 200 = 0
La
resolvemos:
La
solución negativa de la ecuación no tiene sentido en este problema pues corresponde
a la altura del edificio. Luego la solución es:
Por
tanto, la altura del edificio es 27,3 metros.
Ejercicio
16.
Un
pasajero de un avión ve desde la ventanilla de su asiento una ciudad justo bajo
el avión. Cinco kilómetros después ve la ciudad bajo un ángulo 30º respecto de
la horizontal marcada por el vuelo del avión, ¿a qué altura ha sobrevolado el
avión dicha ciudad?
Solución:
Si
designamos con la letra C la ciudad mencionada, el dibujo que representa la
situación expuesta en el problema es el siguiente:
Utilizando
la tangente del ángulo, obtenemos la siguiente ecuación:
Por
tanto, el avión ha sobrevolado la ciudad a una altura de 2883 metros.
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