PRUEBAS DE ACCESO A LA
UNIVERSIDAD–MURCIA–JUNIO-2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C.SS. II
OPCIÓN
A
CUESTIÓN
A1. Dadas las matrices:
a)Calcula Bt + 2C.
b)Halla la matriz X que cumple AX = Bt +
2C, siendo:
Solución:
a)
b)
Este
sistema es equivalente a:
Por
tanto:
CUESTIÓN
A2. Dada la función:
calcula:
a)Los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
b)Los máximos y los mínimos relativos.
c)Los puntos de corte con los ejes.
Solución:
a)Al
tratarse de una función polinómica, el dominio es el conjunto de todos los
números reales. Para hallar los intervalos de monotonía, igualamos a cero la
derivada de la función y resolvemos la ecuación que se obtiene:
f´(x)
= 0
x
– x2 = 0
x
(1 – x) = 0
Las
soluciones de la ecuación son x = 0 y x = 1, puntos en los que puede haber
extremos relativos.
Si x
< 0, x (1 – x) < 0, es decir, f´(x) < 0
Si 0
< x < 1, x (1 – x) > 0, es decir, f´(x) > 0
Si x
> 1, x (1 – x) < 0, es decir, f´(x) < 0
Así:
f(x)
es estrictamente creciente en el intervalo (0, 1) y es estrictamente
decreciente en los intervalos (- ∞,0) y (1, + ∞)
b)Los
puntos en los que se anula la derivada de la función f(x) son x = 0 y x = 1.
Vemos el signo que toma la segunda derivada de la función en estos puntos:
f ´´
(x) = 1 – 2x
f ´´
(0) = 1 > 0, por lo que se alcanza un mínimo relativo
f ´´
(1) = - 1 < 0, por lo que se alcanza un máximo relativo
Además,
f(0) = 0 y f(1) = 1/2 - 1/3 = 1/6 y, por tanto, tenemos un mínimo relativo que
es el punto (0, 0) y un máximo relativo que es el punto (1,
1/6).
c)El
punto de corte con el eje Y es el que corresponde al valor de x = 0, es
decir el punto (0, 0).
Calculamos
los puntos de corte con el eje X, para lo que debe cumplirse que f(x) = 0.
Así,
los puntos de corte con el eje X son: (0,0) y (3/2,
0).
CUESTIÓN
A3. Halla una primitiva F(x) de la función f(x) que cumpla que F(1) = 0,
siendo:
f(x) = x3 – 2x2 + x – 2
Solución:
Hallamos
la integral indefinida de f(x):
La
primitiva F(x) será aquella cuyo valor de K haga que se cumpla la condición
pedida.
Por
tanto:
CUESTIÓN
A4. La probabilidad de aprobar la asignatura A
es 2/3 y la de aprobar la asignatura B es 1/2. Además, la probabilidad de
aprobar las dos es 1/4.
a)Halla la probabilidad de no aprobar ninguna
de las dos asignaturas
b)Calcula la probabilidad de aprobar A pero
no B.
Solución:
Si P
(A)= 2/3 es la probabilidad de aprobar A, la de no aprobarla es:
P
(Ac) = 1 – 2/3 = 1/3.
Análogamente,
si P (B)= 1/2 es la probabilidad de aprobar B, la de no aprobarla es:
P
(Bc) = 1 – 1/2 = 1/2.
Sabemos
además, que la probabilidad de aprobar A y B es 1/4. Así, podemos colocar estos
datos en la tabla siguiente:
Y, a
partir de ellos, completamos los datos que faltan en la tabla:
Por
tanto, ya tenemos las soluciones de ambos apartados:
a) La
probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas es 1/12.
b) La
probabilidad de aprobar A pero no B es 5/12.
CUESTIÓN
A5. Un estudio sociológico afirma que la
proporción de estudiantes de una población es 2/5. Si en una muestra aleatoria
de 700 individuos de la población hay 100 estudiantes, ¿puede admitirse a un
nivel de confianza del 99% la afirmación del estudio?
Solución:
Se
trata de un contraste de hipótesis bilateral, con las siguientes hipótesis:
Como
en la muestra de n = 700 individuos de la población hay 100 estudiantes,
tenemos que:
Como
el nivel de confianza es del 99%, tenemos que:
Utilizando
la tabla de la distribución normal, resulta:
Por
tanto, el intervalo de aceptación es (- 2,575, 2,575).
Calculamos
el estadístico de contraste para ver si pertenece o no a dicho intervalo:
Este
valor no pertenece al intervalo de aceptación y, por ello, se rechaza
la hipótesis de que la proporción de estudiantes de la población es de 2/5.
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