La Regla de Barrow es un
teorema que nos permite calcular el valor de una integral definida conociendo
una primitiva del integrando. Esta regla afirma lo siguiente:
Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b], y sea F (x) una primitiva de f (x) en [a, b], entonces:
Para su demostración consideramos
que si F(x) es una primitiva de f (x), también F (x) + C es otra primitiva de f (x), siendo
C una constante.
Por tanto:
Dando
a x el valor a, resulta que:
Despejando,
tenemos que C = - F (a).
Y,
dando a x el valor b, se deduce que:
Habitualmente, se escribe la diferencia F (b) – F (a)
como:
Luego:
Los valores a y b reciben el
nombre de límite inferior y límite superior de la integral respectivamente. Se
puede observar que el resultado obtenido en la integral no depende de la
variable x, sino de estos límites de integración.
Así,
la regla de
Barrow nos permite calcular la integral definida de una función continua en un
intervalo, siempre que conozcamos una primitiva de ella.
Esto se utiliza para el cálculo de áreas de regiones
limitadas por curvas, de las que
conocemos su primitiva.
Cálculo del área de una región
plana.
Veremos los distintos casos que
podemos encontrar en el cálculo de áreas de una región plana delimitada por la
gráfica de varias funciones, sean estas curvas o rectas.
I. Sea f(x) una función continua en [a, b] , y f(x) ³ 0 " xÎ [a, b].
El área de la región delimitada
por la gráfica de f(x), las rectas x = a , x = b y el eje de abscisas, viene
dada por la expresión siguiente:
Antes de utilizar esta expresión para calcular el área de la región, debemos asegurarnos de que la función es positiva entre los
límites de integración.
Ejemplo:
Vamos a calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x) = - x2 +
4, y las rectas x = - 1, x = 1 y el eje OX.
Tenemos en cuenta que la gráfica de la función es
una parábola que corta al eje horizontal en los puntos de abscisas x = - 2
y x = 2, y que f (x) ≥ 0 para
todos los valores x del intervalo [- 2, 2].
Por tanto, el área buscada (en unidades de
superficie, U.S.) es:
II. Sea f(x) una función continua en [a, b] , y f(x) £ 0 " xÎ[a, b].
La región delimitada por la gráfica de f(x), las
rectas x = a , x = b y el eje de abscisas, sería una región situada debajo del
eje de abscisas por ser f (x) negativa en todo punto del intervalo.
Si calculásemos el área como en
el caso anterior, obtendríamos un área negativa, cosa que no puede ocurrir, por
lo que consideraremos la función opuesta, - f(x), cuya gráfica estará por
encima del eje de abscisas y delimitará una región de igual área que la
delimitada por f, pero esta región estará por encima del eje de abscisas, y por
tanto será positiva.
Luego, aplicando lo obtenido en
el punto anterior y las propiedades de la integral definida, el área buscada es:
Ejemplo:
Si f (x) = - x2
- 1, calculemos el área de la región delimitada por la gráfica de f(x),
las rectas x = - 1, x = 1 y el eje de abscisas.
Tenemos en cuenta que la
gráfica de la función es una parábola que no corta al eje de abscisas y que es
negativa en todo el dominio.
Por tanto, el área buscada es:
III. Sea f(x) continua en [a, b] , y tal que f(x) cambia de signo en [a, b].
En este caso el área de la
región no viene dada como en los casos anteriores por la integral definida de f
entre a y b, sino que será necesario calcular el área de cada una de las
regiones donde f(x) no cambia de signo, y sumarlas a continuación para obtener
el área buscada.
Cada integral tendrá el signo
positivo o negativo según la región esté por encima o por debajo del eje de
abscisas, y tendremos que el área es:
Ejemplo:
Vamos a calcular el área del recinto limitado por la gráfica
de la función f(x) = x2 -1, y por las rectas x = 0, x = 2 y el eje de abscisas.
En primer lugar, buscamos los
puntos de corte de la función con el eje de abscisas para saber si cambia de
signo.
f (x) = 0
x2 - 1 = 0
La función se anula en los puntos de abscisas x1
= - 1 y x2 = 1.
Como 1 Î [0, 2],
se tiene que la función cambia de signo en dicho intervalo
Veamos en que intervalo la función es positiva y en
cual es negativa.
Como f (2) = 22 - 1
= 3 > 0, es positiva en (1, 2) y, por
tener un cero en x = 1, resulta que será negativa en el intervalo (0, 1).
Así, el área buscada es:
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