Un laboratorio de cosméticos está elaborando una crema que debe contener un mínimo de 30 mg de vitamina A y de 35 mg de vitamina C. Para conseguirlo, mezcla dos tipos de productos, cuyos contenidos en vitaminas vienen dados en la tabla siguiente:
El
precio de P1 es 40 € / kg y el de P2 es 60 € / kg.
¿Qué
cantidad de cada producto ha de mezclarse para que el coste de la crema sea
mínimo?
Solución:
Sean
x = kg de P1, y = kg de P2.
El
número de kg ha de ser un número mayor o igual que cero. Y añadiendo las cantidades
establecidas para el contenido de las vitaminas, se obtienen las condiciones
siguientes:
Y la
función coste que queremos optimizar es F (x, y) = 40 x + 60 y.
Utilizamos
una tabla de valores para representar gráficamente las rectas que deducimos de
las condiciones anteriores:
6 x + 6 y = 30
5
x + 10 y = 35
x
= 0 es el eje de ordenadas
y
= 0 es el eje de abscisas
Representando
gráficamente las cuatro rectas, se deduce que la región factible es la
coloreada de rosa y los vértices son los que se muestran en la figura:
Las
coordenadas de B se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas 6
x + 6 y = 30, 5 x + 10 y = 35.
Las
coordenadas de los tres vértices son, por tanto:
A
(0,5) B (3, 2) C (7, 0)
Sustituyendo
estos puntos en la función beneficio, obtenemos lo siguiente:
F
(A) = 60 · 5 = 300
F
(B) = 40 · 3 + 60 · 2 = 240
F
(C) = 40 · 7 = 280
De
esta forma, concluimos que para que el coste sea mínimo se ha de mezclar 3 kg de P1 y 2 kg de P2.
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