Problema 9.3.

El dueño de una papelería ha comprado casi doscientos libros, de tres géneros distintos.

Por cada libro de poesía ha pagado 1,32 euros; por cada uno de aventuras 3,36 euros; y por cada uno de novela histórica 6,16 euros.

Cuando lee la factura se da cuenta de que ha gastado exactamente la misma cantidad de dinero en cada género literario.

¿Cuántos libros de cada género ha comprado?

¿A cuánto asciende el total de la factura?

Solución:

Llamamos x, y, z, al número de libros de poesía, aventuras y novela histórica, respectivamente.

Al pagar lo mismo por los tres géneros, está claro que se cumple:

1,32 · x = 3,36 · y = 6,1 6· z

Multiplicamos por 100 los miembros de la igualdad anterior:

13 2· x = 33 6· y = 616 · z

Simplificamos, dividiendo por 4:

3 3· x = 84 · y = 154 · z

Escribimos la igualdad utilizando la factorización de los coeficientes en primos:

3 · 11 · x = 2² · 3 · 7 · y = 2 · 7 · 11 · z

Para que esta igualdad sea cierta, debe ocurrir que, para algún valor de p:

x = p · 2² · 7 = 28 p

y = p · 11 = 11 p

z = p · 2 · 3 = 6 p

Además, el número 28 p + 11 p + 6 p = 45 p debe acercarse a 200, por lo que p debe ser igual a 4.

Así, x = 112, y = 44 y z = 24.

Es decir, de poesía ha comprado 112 libros, de aventuras 44 libros y de novela histórica 24 libros.

Por cada género ha pagado 24· 6,16 = 147,84 euros, y el total de la factura asciende a:

 3·147,84 = 443,52 €