Problema 2.

Calcula el volumen máximo de un paquete enviado por correo, con forma de ortoedro, cuya base es cuadrada y sabiendo que la suma de sus tres dimensiones (anchura + altura + longitud) es 108 cm.

 

Solución:

Tenemos que optimizar una función de volumen de un paquete de base cuadrada, es decir, con anchura igual a longitud, por tanto:

V(x, y) = x^2·y

Todas las variables deben ser positivas y menores que 108:

0 < x < 108       0 < y < 108

Y sabemos que la suma de anchura + altura + longitud es 108, luego la relación es:

2x + y = 108 →  y = 108 − 2x

Sustituyendo en la función de volumen, se obtiene:

V(x) = x² (108 – 2 x) = 108 x² − 2 x³

Derivando y buscando máximos y mínimos:

V´ (x) = 216 x – 6x² = 0 ; 6x·(36 – x) =0 ; x = 0 ó x = 36

Descartamos la solución nula por no tener sentido, y utilizando la segunda derivada verificamos si es máximo o mínimo:

V'' (x) = 216 −12x → V´´ (36) = − 216 < 0 (en x = 36 se alcanza un máximo)

Por tanto, el máximo volumen de dicho paquete es:

V (36) = 108(36)²−2·(36)³= 139968–93312 = 46656 centímetros cúbicos.