Se quiere construir un depósito abierto de
base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13,5 metros cúbicos. Para
ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las
dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el menor posible.
Solución:
Sean
x e y la longitud del lado de la base y la altura respectivamente.
Utilizando la función volumen, despejamos la relación
entre dichas variables:
De
esta forma, la función que vamos a optimizar es:
Derivamos
para obtener los posibles extremos relativos:
Igualamos
a cero:
f
´(x) = 0
Por
tanto, en x = 3 se alcanza un posible
máximo ó mínimo.
Sustituyendo
en la segunda derivada es fácil comprobar que se trata de un mínimo en x = 3 ,
ya que f´´(3) > 0 y, sustituyendo
este valor de x en la expresión de y, obtenemos que y = 1,5.
Por
tanto, para que se precise la menor cantidad de chapa, la base debe ser un
cuadrado de lado 3 m y la altura del depósito ha de ser 1,5 m.
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