Ejercicio 1.
Encuentra la ecuación del haz de rectas que
pasan por el punto A (-1, 3).
Solución:
El haz estará
formado por las infinitas rectas que pasan por el punto A, y cada una de ellas
tendrá una pendiente distinta m. Por tanto, utilizando la ecuación
punto-pendiente, concluimos que la ecuación del haz es:
y – 3 = m · (x + 1), con m Є R
Ejercicio 2.
Encuentra la ecuación del haz de rectas
paralelas a la recta cuya ecuación es r : y = 5 x – 3.
Solución:
El haz estará
formado por las infinitas rectas que tienen la misma pendiente que r. Por
tanto, utilizando la ecuación explícita, concluimos que la ecuación del haz es:
y = 5 x + C, con C Є R
Ejercicio 3.
Encuentra la ecuación del haz de rectas
paralelas a la recta cuya ecuación es r : 5x – 2 y + 6 = 0.
Solución:
El haz estará formado por las infinitas
rectas que tienen la misma pendiente que r. Por tanto, pueden tener el mismo
vector director y el mismo vector normal que r, con lo que si utilizamos la
ecuación general, concluimos que la ecuación del haz es:
5x – 2 y + C = 0, con C Є R
Ejercicio 4.
Encuentra la ecuación del haz al que
pertenecen las rectas cuyas ecuaciones son r: y = 3x – 2 y s: y
= 4 x – 4.
Solución:
Las rectas r y s tienen pendientes distintas
por lo que son secantes. De esta forma, el haz que buscamos es el de las rectas
que pasan por el punto en el que se cortan r y s.
Calculamos dicho punto de corte, resolviendo
el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas:
Sustituyendo este valor de x en la
primera ecuación del sistema, obtenemos que y = 6 – 2 = 4.
Por tanto el punto en el que se cortan r
y s es A(2, 4). Y el haz que buscamos es el de las rectas que pasan por el
punto A.
De esta forma, utilizando la ecuación punto-pendiente
deducimos que la ecuación del haz es:
y – 4 = m · (x – 2), con m Є R
Ejercicio 5.
Encuentra la ecuación del haz al que
pertenecen las rectas cuyas ecuaciones son:
r: y = 2x – 3 y s: 2 x
– y + 5 = 0
Solución:
Si expresamos la ecuación de r en su
forma general tenemos que:
r : 2 x – y – 3 = 0
Se observa fácilmente que r y s son
paralelas. Por tanto, la ecuación del haz, formado por todas las rectas
paralelas a r y s, es:
2 x – y + C = 0, con C Є R
Ejercicio 6.
Encuentra la ecuación del haz al que
pertenecen las rectas cuyas ecuaciones son:
Solución:
El vector director de la recta s es el de
coordenadas (2, 6), por lo que la pendiente de esta recta es m = 6/2 = 3.
Como la pendiente de r es m´= 4, ambas
rectas tienen pendientes distintas y entonces son secantes.
Así, el haz que buscamos es el de las rectas que pasan por el punto en
el que se cortan r y s.
Calculamos dicho punto de corte, resolviendo
el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas, para lo que previamente
encontramos la ecuación general de s.
Despejamos el valor de λ de las
ecuaciones paramétricas e igualamos las expresiones obtenidas:
Resolvemos ahora el sistema formado por
las ecuaciones de las rectas r y s:
Sustituyendo este
valor de x en la primera ecuación del sistema, deducimos que y = - 1, por lo
que el punto en el que se cortan r y s es A (1, - 1).
Así, el haz que
buscamos es el de las rectas que pasan por el punto A, cuya ecuación es:
y + 1 = m · (x – 1), con m Є R
Ejercicio 7.
Calcula el ángulo que forman las dos rectas
siguientes:
r: x + 2y – 3 = 0
s: (x, y) = (1, 2) + µ (2, - 3)
Solución:
Como vector director de la recta r podemos tomar el
de coordenadas (- 2, 1). Y el vector director de s el de coordenadas (2, -3).
Como estos vectores no son proporcionales, las rectas
no tienen la misma dirección y, por tanto, son secantes.
El ángulo α que forman las rectas es el mismo que
forman sus vectores directores. Así, tenemos que:
De esta forma, el ángulo buscado es:
α = arc cos 0,868 =
29,73o
Ejercicio 8.
Si r es la recta de ecuación 3x + y + 4 = 0 y s es
una recta cuyo vector director es el de coordenadas (m, - 2), halla el valor o
valores de m para que las rectas formen un ángulo de 45o.
Solución:
Como vector director de r podemos tomar el de coordenadas (1, - 3).
Por tanto hemos de calcular el valor de m para el que los vectores (1, -3) y
(m, -2) forman un ángulo de 45o.
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la
ecuación:
Multiplicamos en cruz:
Simplificando, obtenemos la siguiente ecuación de
segundo grado:
m2 – 3 m
– 4 = 0
Resolvemos la ecuación:
Así, m puede tomar los valores m = 4 y m = - 1.
Ejercicio 9.
Calcula la distancia entre los puntos A (6, -2) y B
(-2, 5).
Solución:
Calculamos las coordenadas del vector de origen A y
extremo B:
(- 2, 5) – (6, - 2)
= (- 8, 7)
La distancia entre A y B es el módulo de este
vector. Por tanto, tenemos que:
Ejercicio 10.
Halla el valor o valores de m para que la distancia
entre los puntos de coordenadas A (2, 4) y B (8, m) sea 10.
Solución:
Las coordenadas del vector de origen A y extremo B
son:
(8, m) – (2, 4) =
(6, m – 4)
El módulo del vector será 10 si se cumple que:
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la
ecuación:
36 + m2
+ 16 - 8 m = 100
m 2 - 8
m – 48 = 0
Resolvemos la ecuación:
Por tanto, m puede tomar los valores m = 12 y m = - 4.
Ejercicio 11.
Calcula la distancia del punto A (- 3, 7) a la recta r : y = 4 x – 9.
Solución:
Expresamos la ecuación de la recta en su forma
general:
4 x – y – 9 = 0
La distancia de A a la recta es:
Ejercicio 12.
Halla el valor de m
para que la distancia del punto A (m, -2) a la recta de ecuación y = 5 x + 1 sea 3.
Solución:
Expresamos la ecuación de la recta en su forma
general:
5 x – y + 1 = 0
La distancia de A a la recta es:
Por tanto:
Tenemos pues dos valores de m que se deducen de la
forma siguiente:
a)
b)
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