Ángulo de dos rectas en el plano.

Sabemos que dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas y secantes. Como los vectores directores son vectores libres, las rectas paralelas y coincidentes forman ángulos de 0º.

Vamos a estudiar a continuación el ángulo que forman dos rectas secantes.

Llamamos ángulo de dos rectas r y s al menor  de los ángulos que forman sus vectores directores.

Como vemos en la figura, dos rectas al cortarse determinan cuatro ángulos, iguales dos a dos, y por este motivo se especifica en la definición, que el ángulo será el menor de los dos ángulos distintos que se forman.

Si u y v son los vectores directores de las rectas r y s, el ángulo que forman las rectas es el ángulo comprendido entre los vectores u y v. Por tanto, el ángulo α que forman r y s lo calculamos con la fórmula siguiente, utilizando el producto escalar de vectores:

Pero puede ocurrir que el ángulo α hallado mediante esta expresión sea mayor de 90^o. Y entonces, el ángulo formado por las rectas no es α sino su suplementario 180^o – α.

Esto ocurrirá cuando el valor obtenido del coseno sea negativo, y este signo viene dado por el resultado del producto escalar. Por tanto, para no depender del signo del producto escalar, y obtener directamente el ángulo menor, podemos utilizar la siguiente expresión:

Ejemplo:

Vamos a calcular el ángulo que forman las rectas siguientes:

r: y = x + 2     y     s: 3 x + 4 y = 0

Como la pendiente de r es m = 1, el vector (1, 1) sería director de dicha recta.

Como (3, 4) es normal a la recta r, el vector (- 4, 3) es director de dicha recta.

Por tanto, el ángulo α formado por r y s es que forman los vectores (1, 1) y (- 4, 3). Así:

Así, el ángulo que forman r y s es:

Una vez estudiado el ángulo de dos rectas, es fácil ver qué condición deben cumplir dos rectas para ser perpendiculares.

Dos rectas serán perpendiculares cuando lo sean sus vectores directores.

Consideramos dos rectas secantes r y s, cuyas ecuaciones son:

r : A · x + B · y + C = 0 y  s : A´· x + B´· y + C´= 0

Sus vectores directores son (- B, A) y (- B´, A´) respectivamente.

Por ello, la pendiente de r es m = - A/B y la de s es m´= - A´/B´.

Si son perpendiculares, también lo son sus vectores directores y, de la misma forma, son perpendiculares sus vectores normales. Entonces, se cumple que A·A´+ B·B´= 0

Si sumamos (-B·B´) en ambos miembros obtenemos que A·A´= -B·B´.

Dividimos los dos miembros por – A´B:

Por tanto, dos rectas son perpendiculares, si sus pendientes son inversas y opuestas.

Ejemplo:

Hallemos el valor de a para que sean perpendiculares las rectas r y s siguientes:

r: a x + 4 y – 5 = 0    y     s: 3 x – 7 y – 4 = 0

Los vectores (- 4, a) y (7, 3) son directores de r y s, respectivamente. Por tanto, la pendiente de r es m = - a/4 y la pendiente de s es m´= 3/7.

m = - 1/m´ ⟺ - a/4 = - 7/3 ⟺ - 3 a = - 28 ⟺ a = 28/3