Haz de rectas en el plano.

Llamamos haz de rectas en el plano a un conjunto simplemente infinito de rectas.

·      Decimos simplemente infinito porque depende de un solo parámetro, de tal forma que para cada valor del parámetro obtendremos una recta.

·      La gran ventaja de trabajar con la ecuación de un haz de rectas, es que trabajamos con infinitas rectas utilizando una sola ecuación.

  

Veamos los dos tipos de haces de rectas en el plano.

I. Haz de rectas paralelas.

Dada una recta r de pendiente m, el haz de rectas paralelas a r tendrá por ecuación:

y = m·x + n     donde n es un número real

Para cada valor de n se obtiene una recta. Las rectas que componen el haz serán paralelas al tener todas ellas la misma pendiente.

Si la recta r viene dada por su ecuación general, A·x + B·y + C = 0, el haz de rectas paralelas a r tiene por ecuación la siguiente:

A·x + B·y + K = 0   donde K es un número real

II.Haz de rectas que pasan por un punto.

Dado un punto A (a, b), el haz de rectas que pasan por el punto A tiene de ecuación:

y - b = m · (x - a)     donde m es un número real

Evidentemente, para cada valor de m obtenemos una recta distinta.

Cuando el punto A (a, b) es el punto en el que se cortan las rectas r y s, de ecuaciones r: A·x + B·y + C = 0 y s: A’·x + B’·y + C’ = 0, el haz de rectas que pasan por A tiene por ecuación:

a (A·x + B·y + C) + b (A’·x + B’·y + C’) = 0      donde a,bÎR

Si a ¹ 0, podríamos dividir la expresión anterior del haz por dicho valor, quedando esta de la forma siguiente:

 A·x + B·y + C + b‘ (A’·x + B’·y + C’) = 0   donde b‘ÎR

Esta segunda expresión del haz de rectas que pasan por el punto donde se cortan dos rectas r y s, es más sencilla que la dada anteriormente, pues sólo tiene un parámetro. Sin embargo, este haz no incluye a todos las rectas que pasan por dicho punto, ya que la recta s: A’·x + B’·y + C’ = 0 no es una recta de dicho haz, pues al darle valores a b, iremos encontrando rectas distintas del haz, pero nunca conseguiremos la expresión de s.

Ejemplos:

a)Dado el punto Q (3, 1), el haz de rectas que pasan por dicho punto  será el de ecuación:

y - 1 = m · (x - 3)

b) El haz de rectas paralelas a la recta r: 3 x - y - 2 = 0 será el de ecuación:

3x - y + k = 0

Ejercicios resueltos de la recta en el plano.

Ejercicio 1.

Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, general y explícita de la recta que pasa por el punto A (2, - 5) y sabiendo que su vector director es v = (1, - 2).

Solución:

La ecuación vectorial es:

(x, y) = (2, - 5) + λ·(1, - 2)

Operando en la ecuación anterior obtenemos:

(x, y) = (2 + λ, - 5 – 2 λ)

Igualando las coordenadas, obtenemos las ecuaciones paramétricas:

Despejando el valor de λ en las dos ecuaciones paramétricas e igualando las expresiones obtenidas, deducimos que la ecuación continua es:

Si en la ecuación continua multiplicamos sus términos en cruz se tiene que:

-   2 · (x – 2) = 1 · (y + 5)

-    

-   2 x + 4 = y + 5

Y esta ecuación es equivalente a la siguiente, que es la ecuación general de la recta:

2 x + y + 1 = 0

Si en la ecuación general despejamos la variable y, obtenemos la ecuación explícita de la recta:

y = - 2 x - 1

Ejercicio 2.

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto A (1, 3) y cuyo vector director es v = (2, - 4). A partir de ella, obtén la ecuación general.

Solución:

Como el vector director es v = (2, - 4), la pendiente la obtenemos dividiendo su segunda coordenada entre la primera. Es decir:

m = - 4 / 2 = - 2

Conocida la pendiente y el punto A, tenemos que la ecuación punto – pendiente de la recta es:

y – 3 = - 2 · (x – 1)

Operando en la ecuación anterior, tenemos:

y – 3 = - 2  x + 2

Dejando todos los términos en el mismo miembro de la ecuación obtenemos la ecuación general que es la siguiente:

2 x + y – 5 = 0

Ejercicio 3.

Dada la ecuación de la recta 2x - 3y + 4 = 0, encuentra la ecuación punto – pendiente y la ecuación vectorial de dicha recta.

Solución:

Utilizando los coeficientes de x e y en la ecuación, deducimos que el vector de coordenadas (2, - 3) es perpendicular a la recta y el vector de coordenadas (3, 2) tiene la misma dirección que la recta. Por tanto, este último podemos utilizarlo para calcular la pendiente haciendo el cociente de sus coordenadas:

m = 2/3

Necesitamos un punto de la recta, para lo que damos a x un valor cualquiera y despejamos el correspondiente valor de y. Por ejemplo, si x = 1, deducimos que:

2 – 3 y + 4 = 0

-   3 y = - 6

y = 2

Luego el punto (x, y) = (1, 2) pertenece a la recta.

Así, la ecuación punto – pendiente es:

y – 2 = (2/3)·(x – 1)

Como el punto (x, y) = (1, 2) pertenece a la recta y el vector de coordenadas (3, 2) tiene su dirección, la ecuación vectorial de la recta es:

(x, y) = (1, 2) + λ · (3, 2)

Ejercicio 4.

Halla las ecuaciones explícita y segmentaria de la recta que pasa por el punto A (2, - 5) y su vector director es v (1, - 2).

Solución:

Con los datos que tenemos, deducimos la ecuación continua de la recta:

Y, a partir de ella, obtenemos la ecuación implícita:

- 2 x + 4 = y + 5

2 x + y + 1 = 0

Restamos 1 a los dos miembros de la ecuación:

2 x + y = - 1

Dividimos los dos miembros de la ecuación por – 1:

Esta ecuación podemos escribirla de la forma siguiente:

La ecuación que acabamos de obtener es la segmentaria.

Para obtener la ecuación explícita despejamos la variable a partir de la ecuación implícita:

2 x + y + 1 = 0

y = - 2 x - 1

Ejercicio 5.

Halla las ecuaciones explícita y segmentaria de una recta cuya ordenada en el origen vale 2, y que determina un segmento al cortar al eje de abscisas de longitud 6.

Solución:

La ecuación segmentaria es de la forma siguiente:

Además, sabemos que la recta corta a los ejes coordenados en los puntos de coordenadas (p, 0) y (0, q).

Si la ordenada en el origen vale 2 significa que la recta pasa por el punto (0, 2), de forma que el valor de q es 2.

Como la recta determina un segmento al cortar al eje de abscisas de longitud 6, podemos distinguir dos casos. En el primero, la recta pasa por el punto (6, 0) y en el segundo, la recta pasa por el punto (- 6, 0). Luego p puede tomar estos dos valores, por lo que existen dos rectas que son solución del problema.

a)  Si p = 6 y q = 2, la ecuación segmentaria de la recta es:

b)  Si p = - 6 y q = 2, la ecuación segmentaria de la recta es:

Multiplicando las dos ecuaciones anteriores por 12, obtenemos:

a)  2 x + 6 y = 12

b)  – 2 x + 6 y = 12

Despejando en cada una de ellas la variable y, obtenemos las dos rectas que son solución del ejercicio, en su ecuación explícita:

Ejercicio 6.

Encuentra la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos A (1, 2) y B (- 1, 1).

Solución:

La ecuación explícita es de la forma y = m x + n.

Como A pertenece a la recta, debe cumplir esta ecuación y, por tanto:

2 = m · 1 + n ⟺ 2 = m + n

De la misma forma, como B pertenece a la recta, tenemos que:

1 = m · (- 1) + n ⟺ 1 = - m + n

Si a la primera de estas dos ecuaciones le restamos la segunda, miembro a miembro, se deduce que:

1 = 2 m ⟺ m = 1/2

Sustituyendo este valor de m en la primera ecuación, tenemos que:

2 = 1/2 + n ⟺ n = 3/2

Como conclusión, la ecuación explícita de la recta buscada es:

Ejercicio 7.

Estudia la posición relativa de los pares de rectas siguientes:

a) 2x - 4 y + 6 = 0   y  -3x + 6y - 2 = 0

b) y - 1 = 2 (x - 2)   y    x - 3y + 1 = 0

Solución:

a)Al tener las ecuaciones implícitas de las dos rectas, hacemos los cocientes de sus coeficientes:

Por tanto, estas dos rectas son paralelas.

b)Expresamos la ecuación de la recta y - 1 = 2 (x - 2)   en su forma implícita:

y -1 = 2 x – 4

2 x – y – 3 = 0

Así, las rectas cuya posición relativa vamos a estudiar en su forma general son:

2 x – y – 3 = 0

x - 3y + 1 = 0

Hacemos los cocientes de sus coeficientes:

Como las dos primeras fracciones son distintas, deducimos que estas rectas son secantes.

Ejercicio 8.

Dada la recta r: x - 2y + 4 = 0, halla el valor de m y C para que la recta s: m x + 8 y - C = 0 sea coincidente con r.

Solución:

Utilizando los cocientes de sus coeficientes, para que las rectas sean coincidentes debe cumplirse que:

De la igualdad de las dos primeras fracciones deducimos que:

- 2 m = 8 ⟺ m = - 4

De la igualdad de las dos últimas fracciones deducimos que:

2 C = 32 ⟺ C = 16

Por tanto, la solución es m = - 4 y C = 16.

Ejercicio 9.

Encuentra la ecuación de la recta paralela a r: 3 x + y - 2 = 0, y que pasa por el punto A(2,- 3).

Solución:

Al ser paralela a r, la recta que buscamos tiene el mismo vector director que r, por lo que su ecuación general es de la forma 3 x + y + C = 0.

Como el punto A pertenece a la recta, debe cumplir su ecuación. Esto supone que:

3 · 2 + (- 3) + C = 0 ⟺ 6 – 3 + C = 0 ⟺ C = - 3

Así, la recta buscada es la de ecuación 3 x + y - 3 = 0.

Ejercicio 10.

Dada la recta r: 2x - y + 4 = 0, halla la recta perpendicular a ella que pasa por el punto A (-3, 1).

Solución:

Por ser perpendicular a la recta r, el vector normal de esta última será un vector director de la que buscamos.

Así, (2, - 1) es vector director de la nueva recta. Y esto supone que el vector (1, 2) será perpendicular a ella.

De esta manera, la ecuación general de la recta que queremos encontrar será de la forma:

x + 2 y + C = 0

Como A es un punto de esta recta, debe cumplir su ecuación:

- 3 + 2 · 1 + C = 0 ⟺ C = 1

Entonces, la recta buscada es la de ecuación x + 2 y + 1 = 0.

Posición relativa de dos rectas en el plano.

Para tratar este apartado recordamos lo siguiente:

- Dos vectores v y v´son paralelos cuando sus componentes son proporcionales.

-    Dos rectas r y r´ son paralelas si lo son sus vectores directores.

-      Dos rectas r y r´ son paralelas si tienen la misma pendiente.

Dadas dos rectas r: A·x + B·y + C = 0 y r´: A´·x + B´·y + C´= 0, tratamos de determinar si estas dos rectas son paralelas, coincidentes o se cortan. 

Para ello resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de ambas:

Podemos encontrar los casos siguientes:

a)El sistema tiene una solución única, (x₀, y₀). Esto indica que las rectas son secantes y se cortan en un punto que tendrá como coordenadas  la solución del sistema.

Si las rectas son secantes, no son paralelas y, por tanto, sus pendientes son distintas y sus vectores directores no son proporcionales. Es decir:

b)El sistema no tiene solución y, por tanto, las rectas no tienen puntos en común y son paralelas.

Al ser paralelas, sus pendientes son iguales y sus vectores directores proporcionales. Es decir:

c)El sistema tiene infinitas soluciones, lo que implica que las rectas son coincidentes y que todos sus puntos son soluciones del sistema.

Si son coincidentes, sus pendientes y ordenadas en el origen son iguales. Es decir:

Ejemplo:

Estudiamos la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

a) Sean  r: 2x - 4y = 8  y  r’ : 3 x -6y +5 = 0

Como sus ecuaciones están en la forma general, realizaremos los cocientes de sus coeficientes:

Observamos que estas rectas son paralelas.

b) Sean:

Si pasamos sus ecuaciones a la forma explícita, obtenemos:

Como podemos ver, m = m´ y  b = b`. Por tanto, las rectas son coincidentes.